Bài toán (IMO 1987) : Chứng minh rằng không tồn tại hàm số $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ và thỏa mãn : \[f(f(n))=n+1987,\;\forall n\in \mathbb{N}\] Lời giải : Nếu hàm đã cho thỏa $f(n+1)=f(n),\;\forall n\in \mathbb{N}\Rightarrow f(f(n+1))=f(f(n)),\;\forall n\in \mathbb{N}\Rightarrow (n+1)+1987=n+1987$. Điều này vô lí. Nếu hàm đã cho thỏa $f(n+1)<f(n),\;\forall n\in \mathbb{N}$ thì $f(n)\geq f(n+1)+1$ Từ đó : \[f(n)\geq f(n+1)+1\geq f(n+2)+2\geq ...\geq f(n+1987)+1987\;\;\;(2)\] Mặt khác có $f(f(f(n)))=f(n+1987),\;\forall n\in \mathbb{N}\Rightarrow f(n)+1987=f(n+1987),\;\forall n\in \mathbb{N}\;\;\;(2)$ Từ $(1)(2)$ ta suy ra \[f(n+1987)-1987\geq f(n+1987)+1987,\;\forall n\in \mathbb{N}\]. Điều này cũng vô lí Từ đó ta phải có $f(n+1)>f(n)$. Làm tiếp như bài này. Kết luận : Không tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài.

Functional Equation

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán (IMO 1987) : Chứng minh rằng không tồn tại hàm số $f : N \to N$ và thỏa mãn :

$f (f (n)) = n + 1987, \forall n \in N$

Lời giải :

Nếu hàm đã cho thỏa $f (n + 1) = f (n), \forall n \in N \Rightarrow f (f (n + 1)) = f (f (n)), \forall n \in N \Rightarrow (n + 1) + 1987 = n + 1987$ .

Điều này vô lí.

Nếu hàm đã cho thỏa $f (n + 1) < f (n), \forall n \in N$ thì $f (n) \geq f (n + 1) + 1$

Từ đó :

$f (n) \geq f (n + 1) + 1 \geq f (n + 2) + 2 \geq ... \geq f (n + 1987) + 1987 (2)$

Mặt khác có $f (f (f (n))) = f (n + 1987), \forall n \in N \Rightarrow f (n) + 1987 = f (n + 1987), \forall n \in N (2)$

Từ $(1) (2)$ ta suy ra

$f (n + 1987) - 1987 \geq f (n + 1987) + 1987, \forall n \in N$ .

Điều này cũng vô lí

Từ đó ta phải có $f (n + 1) > f (n)$ .

Làm tiếp như bài này.

Kết luận : Không tồn tại hàm số thỏa mãn đề bài.

Mô tả

Bài toán (IMO 1987) : Chứng minh rằng không tồn tại hàm số và thỏa mãn : Lời giải : Nếu hàm đã cho thỏa . Điều này vô lí. Nếu hàm đã cho thỏa thì Từ đó : Mặt khác có Từ ta suy ra . Điều này cũng vô lí Từ đó ta phải […]

Phương trình hàm

Nguồn: julielltv