Functional Equation

Bài toán : Tìm hàm số $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn với mọi số thực $x$ :

$$f(g(x))=x^2(1)$$ và $$g(f(x))=x^3(2)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ thay $x$ bởi $f(x)$ và áp dụng $(2)$ ta được :

$$f(g(f(x)))=f^2(x),\forall x\in \mathbb{R}\iff f(x^3)=f^2(x),\forall x\in \mathbb{R}$$

Lần lượt cho $x$ bằng $-1,0,1$ ta được :

$$\{\begin{array}{c}f(0)=f^2(0)\\ f(-1)=f^2(-1)\\ f(1)=f^2(1)\end{array}$$

Do đó $f(-1),f(0),f(1)$ là ba nghiệm của phương trình $x^2-x=0(3)$.

Mặt khác giả sử $\exists x_1,x_2\in \mathbb{R}:f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow g(f(x_1))=g(f(x_2))\Rightarrow x_1^3=x_2^3\Rightarrow x_1=x_2$.

Do đó $f$ là đơn ánh $(4)$

Từ $(3)(4)$ ta suy ra phương trình $x^2-x=0$ có ba nghiệm phân biệt, đây là điều mâu thuẫn.

Kết luận : Không tồn tại cặp hàm số thỏa đề.