Functional Equation

Bài toán : Tìm hàm $f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ thỏa mãn $f(1)=2$ và :

$$f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1,\forall x,y\in \mathbb{Q}(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ ta cho $y=1$ được $f(x)=f(x)f(1)-f(x+1)+1,\forall x\in \mathbb{Q}\iff f(x+1)=f(x)+1,\forall x\in \mathbb{Q}$

Bằng quy nạp ta chứng minh được $f(x+n)=f(x)+n,\forall x\in \mathbb{Q},n\in {\mathbb{Z}}^{+}$

Xét $n\in {\mathbb{Z}}^{-}$, đặt $n=-m,\left(m\in {\mathbb{Z}}^{+}\right)$

Ta được $f(x+m)=f(x)+m\iff f(x-n)=f(x)-n$

Như vậy ta có $f(x+n)=f(x)+n,\forall x\in \mathbb{Q},n\in \mathbb{Z}$

Từ đây cho $x=1$ thì được $f(n+1)=n+f(1)=n+2,\forall n\in \mathbb{Z}\iff f(n)=n+1,\forall n\in \mathbb{Z}$

Trong $(1)$ ta thay $x$ bởi $n$ và $y$ bởi $\frac{1}{n}$ với $n\in \mathbb{Z}$ :

$f(1)$$=f(n).f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(n+\frac{1}{n}\right)+1$$\iff 2$$=(n+1)f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(\frac{1}{n}\right)-n+1$$\iff f\left(\frac{1}{n}\right)$$=1+\frac{1}{n}$

Trong $(1)$ ta thay $x$ bởi $m$ và $y$ bởi $\frac{1}{n}$ với $m,n\in \mathbb{Z}$, được :

$f\left(\frac{m}{n}\right)$$=f(m)f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(m+\frac{1}{n}\right)+1$$=f\left(\frac{m}{n}\right)$$=(m+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)-f\left(\frac{1}{n}\right)-m+1$$=(m+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)-\left(1+\frac{1}{n}\right)-m+1$$=1+\frac{m}{n}$

Như vậy thì $f(x)=x+1,\forall x\in \mathbb{Q}$, thử lại thỏa.

Kết luận : Hàm số cần tìm là $f(x)=x+1,\forall x\in \mathbb{Q}$