Inequality

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2012 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diệu, Đồng Tháp)

 Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$$P=\frac{1}{\sqrt{x^5-x^2+3xy+6}}+\frac{1}{\sqrt{y^5-y^2+3yz+6}}+\frac{1}{\sqrt{z^5-z^2+3zx+6}}$$

Lời giải :

Gỉa thiết $xyz=1$ làm ta nhớ đến đẳng thức quen thuộc $\frac{1}{xy+x+1}+\frac{1}{yz+y+1}+\frac{1}{zx+z+1}=1$.

Vì vậy ta tìm cách đánh giá $x^5-x^2+3xy+6\ge k(xy+x+1)$

Ta tìm cách đánh giá một biến bằng cách chọn $k=3$, như vậy ta chỉ việc chứng minh $x^5-x^2+6\ge 3x+3\iff x^5-x^2-3x+3\ge 0\iff (x-1{)}^2(x^3+2x^2+3x+3)\ge 0$

Điều này là đúng vì $x>0$.

Như vậy ta có $x^5-x^2+3xy+6\ge 3(xy+x+1)\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x^5-x^2+3xy+6}}\le \frac{1}{\sqrt{3(xy+x+1)}}$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế chúng lại :

$P$$\le \frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{\sqrt{xy+x+1}}+\frac{1}{\sqrt{yz+y+1}}+\frac{1}{\sqrt{zx+z+1}}\right)$

Lại áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ :

${\left(\frac{1}{\sqrt{xy+x+1}}+\frac{1}{\sqrt{yz+y+1}}+\frac{1}{\sqrt{zx+z+1}}\right)}^2$$\le 3\left(\frac{1}{xy+x+1}+\frac{1}{yz+y+1}+\frac{1}{zx+z+1}\right)$$=1/3.\left(\frac{1}{xy+x+1}+\frac{x}{xy+x+1}+\frac{xy}{xy+x+1}\right)$$=1/3$

Từ đó $P\le \frac{1}{3}$

Kết luận : $MaxP=\frac{1}{3}\iff x=y=z=1$