Inequality, Trigonometry

Bài toán : Cho các số dương $x,y,z$ thỏa mãn $6x+3y+2z=xyz$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$$P=\frac{x\sqrt{yz}}{\sqrt{x^2+1}.\sqrt[4]{(y^2+4)(z^2+9)}}$$

Lời giải :

Để ý thấy biểu thức $P$ có thể viết lại dưới dạng :

$$P=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.\sqrt{\frac{y}{\sqrt{y^2+4}}.\frac{z}{\sqrt{z^2+9}}}$$

Các biểu thức trong $P$ là những biểu thức đậm chất lượng giác, ta khai thác giả thiết :

$$6x+3y+2z=xyz\iff \frac{6}{yz}+\frac{3}{zx}+\frac{2}{xy}=0$$

Như vậy nếu ta đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}$ thì ta được $ab+bc+ca=1$ và biểu thức $P$ khi đó trở thành :

$$P=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}.\sqrt{\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}.\frac{1}{\sqrt{1+c^2}}}$$

Dấu hiệu lượng giác đã rõ. Ta đặt $a=tan\frac{A}{2},b=tan\frac{B}{2},c=tan\frac{C}{2}(A+B+C=\pi )$

Thì :

$$P=cos\frac{A}{2}\sqrt{cos\frac{B}{2}.cos\frac{C}{2}}$$

Vì $B,C$ là bình đẳng trong $P$ nên trong quá trình đánh giá, ta sẽ bảo đảm cho dấu bằng xảy ra tại $B=C$.

Ta có :

$2P^2$$=2co{s}^2\frac{A}{2}cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}$$=co{s}^2\frac{A}{2}\left(cos\frac{B+C}{2}+cos\frac{B-C}{2}\right)$$\le \left(1-si{n}^2\frac{A}{2}\right)\left(sin\frac{A}{2}+1\right)$

$=\frac{1}{2}\left(2-2sin\frac{A}{2}\right)\left(1+sin\frac{A}{2}\right)\left(1+sin\frac{A}{2}\right)$$\le \frac{1}{2}.{\left(\frac{2-2sin\frac{A}{2}+1+sin\frac{A}{2}+1+sin\frac{A}{2}}{3}\right)}^3$$=\frac{32}{27}$$\Rightarrow P$$\le \frac{4\sqrt{3}}{9}$

Kết luận :

$MaxP$$=\frac{4\sqrt{3}}{9}$$\iff sin\frac{A}{2}$$=\frac{1}{3},B$$=C$$\iff tan\frac{A}{2}$$=\frac{\sqrt{2}}{4},tan\frac{B}{2}$$=tan\frac{C}{2}$$=\frac{\sqrt{2}}{2}$$\iff x$$=2\sqrt{2},y$$=2\sqrt{2},z$$=3\sqrt{2}$