Trigonometry

Bài toán : Trong các nghiệm $(x,y,z,t)$ của hệ phương trình 

$$\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=1\\ z^2+t^2=2\\ xt+yz\ge \sqrt{2}\end{array}$$.

Hãy tìm nghiệm sao cho $y+t$ nhỏ nhất.

Lời giải :

Từ giả thiết ta đặt $x=sin\alpha ,y=cos\alpha ,\alpha \in \left[0,2\pi \right]$

Và $z=sin\beta \sqrt{2},t=cos\beta \sqrt{2},\beta \in \left[0,2\pi \right]$

Từ đó

$\sqrt{2}$$\le xt+yz$$=\sqrt{2}\left(sin\alpha .cos\beta +sin\beta .cos\alpha \right)$$=\sqrt{2}.sin\left(\alpha +\beta \right)$$\iff sin\left(\alpha +\beta \right)$$\ge 1$$\iff sin\left(\alpha +\beta \right)$$=1$$\iff \alpha +\beta$$=\frac{\pi }{2}+k2\pi$

Do đó :

$y+t$$=cos\alpha +cos\beta .\sqrt{2}$$=cos\left(\frac{\pi }{2}+k2\pi -\beta \right)+cos\beta \sqrt{2}$$=sin\beta +cos\beta .\sqrt{2}$$\ge -\sqrt{(si{n}^2\beta +co{s}^2\beta )(1+2)}$$=-\sqrt{3}$

Tức là $Min(y+t)=-\sqrt{3}$ và đẳng thức xảy ra khi :

$$\{\begin{array}{c}co{s}^2\beta =si{n}^2\alpha =\frac{2}{3}\\ co{s}^2\alpha =si{n}^2\beta =\frac{1}{3}\end{array}\iff x^2=\frac{2}{3},y^2=\frac{1}{3},t^2=\frac{4}{3},z^2=\frac{2}{3}$$

Bằng cách chọn các giá trị ta được nghiệm sau thỏa mãn :

$\left(x,y,z,t\right)$$=\left(-\sqrt{\frac{2}{3}},-\sqrt{\frac{1}{3}},-\sqrt{\frac{2}{3}},-\sqrt{\frac{4}{3}}\right)$