Inequality

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long)

Cho $a,b,c>0$ và thỏa mãn điều kiện $abc=1$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a}{b^2(c+1)}+\frac{b}{c^2(a+1)}+\frac{c}{a^2(b+1)}\ge \frac{3}{2}$$

Lời giải :

Bổ đề 1 : Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa $abc\le 1$. Chứng minh :

$Min\left\{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a},\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\right\}$$\ge a+b+c$

Bổ đề 2 : Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa $abc=1$. Chứng minh :

$Min\left\{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a},\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\right\}$$\ge ab+bc+ca$

Xem chứng minh hai bổ đề tại đây

Trở lại bài toán :

Theo BĐT $Cauchy-Schwarz$ :

$\frac{a}{b^2(c+1)}+\frac{b}{c^2(a+1)}+\frac{c}{a^2(b+1)}$$=\frac{(a/b{)}^2}{a(c+1)}+\frac{(b/c{)}^2}{b(a+1)}+\frac{(c/a{)}^2}{c(b+1)}$$\ge \frac{(a/b+b/c+c/a{)}^2}{(a+b+c)+(ab+bc+ca)}$$\ge \frac{(a/b+b/c+c/a{)}^2}{2(a/b+b/c+c/a)}$$=\frac{a/b+b/c+c/a}{2}$$\ge \frac{3}{2}$

Ta có điều phải chứng minh.