Inequality

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$. Đặt :

$$A=\frac{a}{b^2+b}+\frac{b}{c^2+c}+\frac{c}{a^2+a}$$

$$B=\frac{a}{b^3+b}+\frac{b}{c^3+c}+\frac{c}{a^3+a}$$

$$C=\frac{a}{b^3+b^2}+\frac{b}{c^3+c^2}+\frac{c}{a^3+a^2}$$

Chứng minh rằng : 

$$Min\left\{A,B,C\right\}\ge \frac{3}{2}$$

Lời giải :

Bổ đề 1 : Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa $abc\le 1$. Chứng minh :

$Min\left\{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a},\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\right\}$$\ge a+b+c$

Chứng minh bổ đề 1 :

Ta chứng minh $\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\ge a+b+c$, việc còn lại tương tự.

Theo BĐT $AM-GM$ :

$\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{b}$$\ge 3\sqrt[3]{\frac{a.c.c}{c.b.b}}$$=3\sqrt[3]{\frac{ac}{b^2}}$$\ge 3\sqrt[3]{\frac{a^3{b}^2{c}^3}{b^2}}$$=3ca$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế theo vế, bổ đề 1 được chứng minh.

Bổ đề 2 : Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa $abc=1$. Chứng minh :

$Min\left\{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a},\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}\right\}$$\ge ab+bc+ca$

Chứng minh bổ đề 2 :

Bổ đề 1 hiển nhiên đúng với $abc=1$, áp dụng kết quả của bổ đề 1.

Ta thay $a,b,c$ lần lượt bởi $1/a,1/b,1/c$ thì được :

$\frac{1/a}{1/c}+\frac{1/c}{1/b}+\frac{1/b}{1/a}$$\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$=ab+bc+ca$$\iff \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$$\ge ab+bc+ca$

Việc còn lại tương tự. Bổ đề 2 được chứng minh.

Trở lại bài toán :

Ta đi chứng minh $A,B,C\ge \frac{3}{2}$

Thật vậy, áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ và bổ đề 1 :

$A$$=\frac{a}{b^2+b}+\frac{b}{c^2+c}+\frac{c}{a^2+a}$$=\frac{a^2}{a{b}^2+ab}+\frac{b^2}{b{c}^2+bc}+\frac{c^2}{c{a}^2+ca}$$=\frac{(a/b{)}^2}{a+a/b}+\frac{(b/c{)}^2}{b+b/c}+\frac{(c/a{)}^2}{c+c/a}$$\ge \frac{(a/b+b/c+c/a{)}^2}{(a+b+c)+(a/b+b/c+c/a)}$$\ge \frac{(a/b+b/c+c/a{)}^2}{2(a/b+b/c+c/a)}$$=\frac{(a/b+b/c+c/a)}{2}$$\ge \frac{3}{2}$

Áp dụng BĐT $Cauchy-Shwarz$ và bổ đề 2 :

$B$$=\frac{a}{b^3+b}+\frac{b}{c^3+c}+\frac{c}{a^3+a}$$=\frac{a^2}{a{b}^3+ab}+\frac{b^2}{b{c}^3+bc}+\frac{c^2}{c{a}^3+ca}$$=\frac{(a/b{)}^2}{ab+a/b}+\frac{(b/c{)}^2}{bc+b/c}+\frac{(c/a{)}^2}{ca+c/a}$$\ge \frac{(a/b+b/c+c/a{)}^2}{ab+bc+ca+(a/b+b/c+c/a)}$$\ge \frac{(a/b+b/c+c/a{)}^2}{2(a/b+b/c+c/a)}$$=\frac{a/b+b/c+c/a}{2}$$\ge \frac{3}{2}$

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ và cả hai bổ đề :

$C$$=\frac{a}{b^3+b^2}+\frac{b}{c^3+c^2}+\frac{c}{a^3+a^2}$$=\frac{a^2}{a{b}^3+a{b}^2}+\frac{b^2}{b{c}^3+b{c}^2}+\frac{c^2}{c{a}^3+c{a}^2}$$=\frac{(a/b{)}^2}{ab+a}+\frac{(b/c{)}^2}{bc+b}+\frac{(c/a{)}^2}{ca+c}$$\ge \frac{(a/b+b/c+c/a{)}^2}{(a+b+c)+(ab+bc+ca)}$$\ge \frac{(a/b+b/c+c/a{)}^2}{2(a/b+b/c+c/a)}$$=\frac{a/b+b/c+c/a}{2}$$\ge \frac{3}{2}$