Functional Equation

Bài toán : Tìm hàm số $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ thỏa mãn $f(1)=1$ và :

$$f(m+n)+f(m-n)=\frac{1}{2}\left[f(2m)+f(2n)\right],\forall m,n\in \mathbb{N}(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ cho $m=n=0$ thì được $f(0)=0$

Trong $(1)$ cho $n=0$ thì được $2f(m)=\frac{1}{2}f(2m),\forall m\in \mathbb{N}\iff f(2m)=4f(m),\forall m\in \mathbb{N}$

Thay $m=1$ thì $f(2)=4f(1)=4$.

Ta chứng minh bằng quy nạp $f(n)=n^2,\forall \in \mathbb{N}$

– Với $n=0,1,2$ thì khẳng định đúng.

– Gỉa sử khẳng định đúng đến $n$, xét với $n+1$ :

Từ $(1)$ ta có :

$f(n-1)+f(n+1)$$=\frac{1}{2}\left[f(2n)+f(2)\right]$$=\frac{1}{2}\left[4f(n)+4\right]$$=2f(n)+2,\forall n\in \mathbb{N}$

Theo giả thiết quy nạp thì $f(n-1)=(n-1{)}^2,f(n)=n^2$

Từ đó :

$$f(n+1)=2f(n)+2-f(n-1)=2n^2+2-(n-1{)}^2=(n+1{)}^2$$

Theo nguyên lí quy nạp thì khẳng định trên đúng.

Kết luận : Hàm số cần tìm là $\boxed{f(n)=n^2,\forall n\in \mathbb{N}}$