System Of Equations

Bài toán : Giải hệ phương trình 

$$\{\begin{array}{c}3\left(x+\frac{1}{x}\right)=4\left(y+\frac{1}{y}\right)=5\left(z+\frac{1}{z}\right)\\ xy+yz+zx=1\end{array}$$

Lời giải :

Ta đặt $x=tan\frac{A}{2},y=tan\frac{B}{2},z=tan\frac{C}{2}$, trong đó $A,B,C$ là ba góc một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$ và các cạnh tương ứng $a,b,c$.

Khi đó $x+\frac{1}{x}=\frac{x^2+1}{x}=\frac{ta{n}^2\frac{A}{2}+1}{tan\frac{A}{2}}=\frac{1}{co{s}^2\frac{A}{2}}.\frac{cos\frac{A}{2}}{sin\frac{A}{2}}=\frac{1}{sin\frac{A}{2}.cos\frac{A}{2}}=\frac{2}{sinA}=\frac{4R}{a}$

Tương tự với $y,z$.

Từ đó theo phương trình đầu :

$$3.\frac{4R}{a}=4.\frac{4R}{b}=5.\frac{4R}{c}\Rightarrow a=\frac{3c}{5},b=\frac{4c}{5}$$

Từ đó :

$$a^2+b^2={\left(\frac{3c}{5}\right)}^2+{\left(\frac{4c}{5}\right)}^2=c^2$$

Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $C$

Suy ra $sinC=1$

Từ đó ta có :

$$\frac{3}{sinA}=\frac{4}{sinB}=\frac{5}{sinC}\Rightarrow sinB=\frac{4}{5},sinA=\frac{3}{5}$$

Từ đó tính được :

$$tan\frac{A}{2}=\frac{1}{3},tan\frac{B}{2}=\frac{1}{2},tan\frac{C}{2}=1$$

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình là $(x,y,z)=(1/3,1/2,1)$