Bài toán : Cho $a,b,c>0$ và thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng : \[\dfrac{1}{(a+1)^2+b^2+1}+\dfrac{1}{(b+1)^2+c^2+1}+\dfrac{1}{(c+1)^2+a^2+1}\leq \dfrac{1}{2}\] Lời giải : Theo BĐT $AM-GM$ : \[(a+1)^2+b^2+1=(a^2+b^2)+2a+2\geq 2(ab+a+1)\Rightarrow \dfrac{1}{(a+1)^2+b^2+1}\leq \dfrac{1}{2(ab+a+1)}\] Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng chúng lại theo vế : \[\dfrac{1}{(a+1)^2+b^2+1}+\dfrac{1}{(b+1)^2+c^2+1}+\dfrac{1}{(c+1)^2+a^2+1}\leq \dfrac{1}{2}\left ( \dfrac{1}{ab+a+1}+\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{1}{ca+c+1} \right )= \dfrac{1}{2}\] Đây là điều phải chứng minh.

Inequality

Bài toán : Cho $a, b, c > 0$ và thỏa mãn $ab c = 1$ . Chứng minh rằng :

$\frac{1}{( a + 1 ) ^{2} + b ^{2} + 1} + \frac{1}{( b + 1 ) ^{2} + c ^{2} + 1} + \frac{1}{( c + 1 ) ^{2} + a ^{2} + 1} \leq \frac{1}{2}$

Lời giải :

Theo BĐT $A M - GM$ :

$(a + 1)^{2} + b^{2} + 1 = (a^{2} + b^{2}) + 2 a + 2 \geq 2 (ab + a + 1) \Rightarrow \frac{1}{( a + 1 ) ^{2} + b ^{2} + 1} \leq \frac{1}{2 ( ab + a + 1 )}$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng chúng lại theo vế :

$\frac{1}{( a + 1 ) ^{2} + b ^{2} + 1} + \frac{1}{( b + 1 ) ^{2} + c ^{2} + 1} + \frac{1}{( c + 1 ) ^{2} + a ^{2} + 1} \leq \frac{1}{2} (\frac{1}{ab + a + 1} + \frac{1}{b c + b + 1} + \frac{1}{c a + c + 1}) = \frac{1}{2}$

Đây là điều phải chứng minh.

Inequality

Đề bài

Mô tả