Bài toán : Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa $abc=1$. Chứng minh rằng : \[\dfrac{1}{a^4(a+b)}+\dfrac{1}{b^4(b+c)}+\dfrac{1}{c^4(c+a)}\geq \dfrac{3}{2}\] Lời giải : Đổi biến $\left ( a,b,c \right )\rightarrow \left ( \dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z} \right )$ thì $xyz=1$. Từ đó : \[\dfrac{1}{a^4(a+b)}+\dfrac{1}{b^4(b+c)}+\dfrac{1}{c^4(c+a)}=\dfrac{x^5y}{x+y}+\dfrac{y^5z}{y+z}+\dfrac{z^5x}{z+x}=\dfrac{x^4}{zx+yz}+\dfrac{y^4}{xy+zx}+\dfrac{z^4}{yz+xy}\geq \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{2(xy+yz+zx)}\geq \dfrac{xy+yz+zx}{2}\geq \dfrac{3}{2}\] Ta có điều phải chứng minh.

Inequality

Bài toán : Cho các số thực dương $a, b, c$ thỏa $ab c = 1$ . Chứng minh rằng :

$\frac{1}{a ^{4} ( a + b )} + \frac{1}{b ^{4} ( b + c )} + \frac{1}{c ^{4} ( c + a )} \geq \frac{3}{2}$

Lời giải :

Đổi biến $(a, b, c) \to (\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z})$ thì $x y z = 1$ .

Từ đó :

$\frac{1}{a ^{4} ( a + b )} + \frac{1}{b ^{4} ( b + c )} + \frac{1}{c ^{4} ( c + a )} = \frac{x ^{5} y}{x + y} + \frac{y ^{5} z}{y + z} + \frac{z ^{5} x}{z + x} = \frac{x ^{4}}{z x + y z} + \frac{y ^{4}}{x y + z x} + \frac{z ^{4}}{y z + x y} \geq \frac{( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} ) ^{2}}{2 ( x y + y z + z x )} \geq \frac{x y + y z + z x}{2} \geq \frac{3}{2}$

Ta có điều phải chứng minh.

Inequality

Đề bài

Mô tả