Functional Equation

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{Q}}^{+}\to {\mathbb{Q}}^{+}$ và thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}f(x+1)=f(x)+1(1)\\ f(x^2)=f^2(x)(2)\end{array},\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+}$$

Lời giải :

Từ $(1)$ bằng quy nạp ta có $f(x+n)=f(x)+n,\forall n\in \mathbb{N}$

Ta có :

$$f((x+n{)}^2)=f^2(x+n)=(f(x)+n{)}^2=f^2(x)+2nf(x)+n^2,\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+},n\in \mathbb{N}$$

$$f((x+n{)}^2)=f(x^2+2nx+n^2)=f(x^2+2nx)+n^2,\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+},n\in \mathbb{N}$$

Từ hai điều này ta suy ra :

$$f(x^2+2nx)=2nf(x)+f^2(x)$$

Thay $x=\frac{p}{q}\in \mathbb{Q},n=q\in \mathbb{N}$ , ta được :

$f\left({\left(\frac{p}{q}\right)}^2+2p\right)$$=2qf\left(\frac{p}{q}\right)+f^2\left(\frac{p}{q}\right)$$\iff f^2\left(\frac{p}{q}\right)+2p$$=2qf\left(\frac{p}{q}\right)+f^2\left(\frac{p}{q}\right)$$\iff f\left(\frac{p}{q}\right)$$=\frac{p}{q}$

Như vậy thì $f(x)=x,\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+}$ là hàm số cần tìm thỏa đề bài.