Trigonometry

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2003 THPT Kon Tum, tỉnh Kon Tum)

Giải phương trình 

$$(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_{120})+(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_{120})=2^{30.4}$$

trên $\left[-1,1\right]$

Lời giải :

Vì $x_i\in \left[-1,1\right]$ nên đặt $x_i=cos{t}_i(t_i\in \left[0,\pi \right])$

Khi đó phương trình trở thành :

$(1-cos{t}_1)(1-cos{t}_2)...(1-cos{t}_{120})+(1+cos{t}_1)(1+cos{t}_2)...(1+cos{t}_{120})$$=2^{30.4}$$\iff si{n}^2\frac{t_1}{2}.si{n}^2\frac{t_2}{2}...si{n}^2\frac{t_{120}}{2}+co{s}^2\frac{t_1}{2}.co{s}^2\frac{t_2}{2}...co{s}^2\frac{t_{120}}{2}$$=1$

Mặt khác áp dụng BĐT $Holder$ ta có :

${\left(si{n}^2\frac{t_1}{2}.si{n}^2\frac{t_2}{2}...si{n}^2\frac{t_{120}}{2}+co{s}^2\frac{t_1}{2}.co{s}^2\frac{t_2}{2}...co{s}^2\frac{t_{120}}{2}\right)}^{120}$$\le \underset{i=1}{\prod ^{120}}\left(si{n}^{240}\frac{t_i}{2}+co{s}^{240}\frac{t_i}{2}\right)$$\le \underset{i=1}{\prod ^{120}}\left(si{n}^2\frac{t_i}{2}+co{s}^2\frac{t_i}{2}\right)$$=1$

Dấu đẳng thức phải xảy ra, khi và chỉ khi :

$$\{\begin{array}{c}si{n}^2\frac{t_1}{2}:si{n}^2\frac{t_2}{2}:...:si{n}^2\frac{t_{120}}{2}=co{s}^2\frac{t_1}{2}:co{s}^2\frac{t_2}{2}:...:co{s}^2\frac{t_{120}}{2}\\ co{s}^{240}\frac{t_i}{2}=co{s}^2\frac{t_i}{2}\\ si{n}^{240}\frac{t_i}{2}=si{n}^2\frac{t_i}{2}\end{array}$$

Tức là $\frac{t_i}{2}=\frac{k\pi }{2}(k\in \left\{0,1\right\})\Rightarrow x_i\in \left\{-1,1\right\}$

Gỉa sử trong $120$ số $x_i$ có hai số khác nhau thì một trong hai tích $(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_{120})$, $(1+x_1)(1+x_2)...(1+x_{120}$ sẽ bằng $0$. Khi đó hiển nhiên vế trái nhỏ hơn vế phải. Do đó cả thảy $120$ số $x_i$ này đều bằng nhau.

Kết luận : Nghiệm của phương trình là $(x_1,x_2,...,x_{120})=(1,1,...,1),(-1,-1,...,-1)$