Inequality

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Bạc Liêu, tỉnh Bạc Liêu)

Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn $x^2+2y^2=3$. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức :

$$P=\frac{x^2-xy}{x^2+1}$$

Lời giải :

Xét $y=0$ ta được $x=\pm \sqrt{3}$. Thay vào ta được $P=\frac{3}{4}$

Ta có :

$P$$=\frac{3x^2-3xy}{3x^2+3}$$=\frac{3x^2-3xy}{4x^2+2y^2}$$=\frac{3{\left(\frac{x}{y}\right)}^2-3.\frac{x}{y}}{4{\left(\frac{x}{y}\right)}^2+2}$$=\frac{3t^2-3t}{4t^2+2}$

Ta viết dưới dạng một phương trình bậc hai ẩn $t$ và tham số $P$ :

$$(4P-3)t^2+3t+2P=0$$

Phương trình này có $\Delta =3^2-4(4P-3).2P=-32P^2+24P+9$

Để phương trình này có nghiệm thì $\Delta \ge 0\iff -32P^2+24P+9\ge 0\iff \frac{3-3\sqrt{3}}{8}\le P\le \frac{3+3\sqrt{3}}{8}$

Nhận thấy $\frac{3-3\sqrt{3}}{8}\le \frac{3}{4}$ và $\frac{3+3\sqrt{3}}{8}\ge \frac{3}{4}$

Nên :

$MinP=\frac{3-3\sqrt{3}}{8}\iff t=\frac{x}{y}=\frac{-1+\sqrt{3}}{2},x^2+2y^2=3$, hệ này chắc chắn có nghiệm.

$MaxP=\frac{3+3\sqrt{3}}{8}\iff t=\frac{x}{y}=\frac{-1-\sqrt{3}}{2},x^2+2y^2=3$, hệ này chắc chắn có nghiệm.