Functional Equation

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{Q}}^{+}\to {\mathbb{Q}}^{+}$ và thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}f(x+1)=f(x)+1\\ f(x^4)=f^4(x)\end{array},\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+}$$

Lời giải :

Từ phương trình đầu và bằng quy nạp ta được $f(x+n)=f(x)+n,\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+},n\in \mathbb{N}$

Ta có :

$$f((x+n{)}^4)=f^4(x+n)=(f(x)+n{)}^4=f^4(x)+4f^3(x)n+6f^2(x)n^2+4f(x)n^3+n^4$$

$$f((x+n{)}^4)=f(x^4+4x^{3}n+6x^2{n}^2+4x{n}^3+n^4)=f(x^4+4x^{3}n+6x^2{n}^2+4x{n}^3)+n^4$$

Từ hai điều trên ta có :

$$f(x^4+4x^{3}n+6x^2{n}^2+4x{n}^3)=f^4(x)+4f^3(x)n+6f^2(x)n^2+4f(x)n^3$$

Cho $x=\frac{p}{q}\in {\mathbb{Q}}^{+},n=q^3$ ta được :

$f\left({\left(\frac{p}{q}\right)}^4+4{\left(\frac{p}{q}\right)}^3.q^3+6{\left(\frac{p}{q}\right)}^2.q^6+4.\frac{p}{q}.q^9\right)$$=f^4\left(\frac{p}{q}\right)+4f^3\left(\frac{p}{q}\right).q^3+6f^2\left(\frac{p}{q}\right).q^6+4f\left(\frac{p}{q}\right)q^9$$\iff 4p^3+6p^2{q}^4+4p{q}^8$$=4f^3\left(\frac{p}{q}\right).q^3+6f^2\left(\frac{p}{q}\right).q^6+4f\left(\frac{p}{q}\right)q^9$

Đặt $t=\frac{p}{q}\Rightarrow p=qt$, ta được :

$2q^3{t}^3+3q^6{t}^2+2q^{9}t$$=2f^3(t).q^3+3f^2(t).q^6+2f(t).q^9$$\iff 2q^9(f(t)-t)+3q^6(f^2(t)-t^2)+2q^3(f^3(t)-t^3)$$=0$$\iff \left[f(t)-t\right]\left[2q^9+3q^6\left(f(t)+t\right)+2q^3\left(f^2(t)+f(t).t+t^2\right)\right]$$=0$

Nhưng rõ ràng $2q^9+3q^6\left(f(t)+t\right)+2q^3\left(f^2(t)+f(t).t+t^2\right)>0$

Do đó $f(r)=r$

Kết luận : Hàm số cần tìm là $f(x)=x,\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+}$.

*Tổng quát : Tìm hàm số $f:{\mathbb{Q}}^{+}\to {\mathbb{Q}}^{+}$ và thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}f(x+1)=f(x)+1\\ f^n(x)=f(x^n)\end{array},\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+},n\in \mathbb{Z},n\ge 2$$