Inequality

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Hùng Vương, Bình Dương)

Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+ab\ge c^2+2c$

Chứng minh rằng 

$$a^3+b^3\ge 2c^3$$

Lời giải :

Để ý rằng vì $a,b$ bình đẳng nên đẳng thức xảy ra tại $a=b$, thay vào giả thiết và dự đoán dấu bằng cũng xảy ra tại giả thiết ta đi đến dự đoán dấu bằng đạt được khi $a=b=c$.

Ta coi $c$ như một tham số và $a,b$ là hai biến số.

Theo BĐT $AM-GM$ :

$$c(a^3+b^3+c^3)\ge 3ab{c}^2$$

$$a^3+c^3+c^3\ge 3a{c}^2$$

$$b^3+c^3+c^3\ge 3b{c}^2$$

Cộng vế theo vế ba BĐT trên :

$(c+1)(a^3+b^3)+c^4+4c^3$$\ge 3c^2(a+b+ab)$$\ge 3c^2(c^2+2c)$$\Rightarrow a^3+b^3$$\ge \frac{3c^2(c^2+2c)-c^4-4c^3}{c+1}$$=2c^3$

Ta có điều phải chứng minh.