Functional Equation

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f:{\mathbb{Q}}^{+}\to {\mathbb{Q}}^{+}$ và thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}f(x+1)=f(x)+1(1)\\ f(x^3)=f^3(x)(2)\end{array},\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+}$$

Lời giải :

Từ $(1)$ bằng quy nạp ta có $f(x+n)=f(x)+n,\forall n\in \mathbb{N}$

Ta có :

$f((x+n{)}^3)$$=f^3(x+n)$$=(f(x)+n{)}^3$$=f^3(x)+3f^2(x)n+3f(x)n^2+n^3,\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+},n\in \mathbb{N}$

$f((x+n{)}^3)$$=f(x^3+3x^{2}n+3x{n}^2+n^3)$$=f(x^3+3x^{2}n+3x{n}^2)+n^3,\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+},n\in \mathbb{N}$

Từ hai điều trên ta suy ra :

$$f(x^3+3x^{2}n+3x{n}^2)=f^3(x)+3f^2(x)n+3f(x)n^2$$

Thay $x=\frac{p}{q}\in \mathbb{Q},n=q^2\in \mathbb{N}$, ta được :

$f\left({\left(\frac{p}{q}\right)}^3+3.{\left(\frac{p}{q}\right)}^2.q^2+3.\frac{p}{q}.q^4\right)$$=f^3\left(\frac{p}{q}\right)+3f^2\left(\frac{p}{q}\right).q^2+3f\left(\frac{p}{q}\right)q^4$$\iff p^2+p{q}^3$$=f^2\left(\frac{p}{q}\right)q^2+f\left(\frac{p}{q}\right)q^4$

Đây là phương trình bậc hai ẩn $f\left(\frac{p}{q}\right)$ có :

$$\Delta =q^8+4q^2(p^2+p{q}^3)=q^2(q^3+2p{)}^2$$

Nghiệm của nó là :

$$f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{-q^4\pm q(q^3+2p)}{2q^2}=\frac{-q^3\pm (p^3+2p)}{2q}$$

Nếu $f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{-q^3-(q^3+2p)}{2q}=\frac{-q^3-p}{q}\notin {\mathbb{Q}}^{+}$

Do đó $f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{-q^3+(p^3+2p)}{2q}=\frac{p}{q}$

Kết luận : Hàm số cần tìm là $f(x)=x,\forall x\in {\mathbb{Q}}^{+}$