Functional Equation

Bài toán (IMO 1982) Cho hàm số $f:{\mathbb{N}}^{\ast }\to {\mathbb{N}}^{\ast }$ và thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}f(2)=0,f(3)>0,f(9999)=3333\\ f(m+n)-f(m)-f(n)=0\text{hay}1\end{array}$$

Tính $f(1982)$.

Lời giải :

Ta có $f(m+n)=f(m)+f(n)+a\ge f(m)+f(n),\forall m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast },a\in \left\{0,1\right\}$

Từ đó :

$$f(1+1)=f(1)+f(1)+a\Rightarrow f(2)=2f(1)\Rightarrow 2f(1)\le f(2)=0\Rightarrow f(1)=0$$

$f(2+1)=f(2)+f(1)+a\Rightarrow f(3)=a$ mà $f(3)>0$ nên $f(3)=1$.

Từ đó $f(2.3)\ge f(3)+f(3)=2,f(3.3)=f(9)\ge f(3)+f(6)=3$

Ta dự đoán rằng $f(3n)\ge n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Gỉa sử khẳng định trên đúng đến $n$. Xét với $n+1$ :

$$f(3(n+1))=f(3n)+f(3)\ge n+1$$

Theo nguyên lí quy nạp thì $f(3n)\ge n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Theo giả thiết $f(3.3333)=3333$. Nếu $f(3.3332)>3332$ thì :

$$f(9999)=f(3)+f(3.3332)+a>f(9996)$$

Thế nhưng $f(3.3332)\ge 3332+1=3333=f(9999)\iff f(9999)\le f(9996)$.

Hai điều này mâu thuẫn.

Do đó ta phải có $f(3.3332)=3332$. Tương tự như vậy, ta chứng minh được :

$$f(3n)=n,\forall n\le 3333$$

Ta có :

$$f(3n)=f(2n)+f(n)+a=3f(n)+2a$$

Suy ra :

$3f(n)$$\le f(3n)$$\le 3f(n)+2$$\Rightarrow f(n)$$\le \frac{f(3n)}{3}$$\le f(n)+\frac{2}{3}$$\Rightarrow f(n)$$=\lfloor \frac{f(3n)}{3}\rfloor$$=\lfloor \frac{n}{3}\rfloor ,\forall n$$\le 3333$

Khi đó $f(1982)=\lfloor \frac{1982}{3}\rfloor =660$