Inequality

Bài toán (Poland, 1999) Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng :

$$a^2+b^2+c^2+2\sqrt{3abc}\le 1$$

Lời giải 1 :

Với những bài toán mà giả thiết là $f(a,b,c)=1$ và bất đẳng thức cần chứng minh không thuần nhất thì ta thường kết hợp giả thiết để thuần nhất bài toán :

$$a^2+b^2+c^2+2\sqrt{3abc(a+b+c)}\le (a+b+c{)}^2\iff \sqrt{3abc(a+b+c)}\le ab+bc+ca$$

Đây là một kết quả quen thuộc.

Lời giải 2 :

Gỉa thiết đã cho có thể viết lại thành :

$\sqrt{\frac{ab}{c}}.\sqrt{\frac{bc}{a}}+\sqrt{\frac{bc}{a}}.\sqrt{\frac{ca}{b}}+\sqrt{\frac{ca}{b}}.\sqrt{\frac{ab}{c}}$$=1$

Từ đó ta đặt $x=\sqrt{\frac{bc}{a}},y=\sqrt{\frac{ca}{b}},z=\sqrt{\frac{ab}{c}}$ thì $xy+yz+zx=1$ và $a=yz,b=zx,c=xy$.

Ta viết lại BĐT cần chứng minh :

$$x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2+2\sqrt{3}xyz\le 1=(xy+yz+zx{)}^2\iff x+y+z\ge \sqrt{3}$$

Điều này là hiển nhiên vì :

$$x+y+z\ge \sqrt{3(xy+yz+zx)}=\sqrt{3}$$