Inequality

Bài toán (Võ Quốc Bá Cẩn, Mathematical Reflections, 2007) 

Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh rằng :

$\sqrt{\frac{y+z}{x}}+\sqrt{\frac{z+x}{y}}+\sqrt{\frac{x+y}{z}}$$\ge \sqrt{\frac{16(x+y+z{)}^3}{3(x+y)(y+z)(z+x)}}$

Lời giải :

Bất đẳng thức đã cho có thể viết thành :

$$\sum _{cyc}(y+z)\sqrt{\frac{(x+y)(z+x)}{x(x+y+z)}}\ge \frac{4(x+y+z)}{\sqrt{3}}$$

Ta đặt $a=y+z,b=z+x,c=x+y,p=\frac{a+b+c}{2}$.

Ta có thể viết lại BĐT dưới dạng :

$a\sqrt{\frac{bc}{p(p-a)}}+b\sqrt{\frac{ca}{p(p-b)}}+c\sqrt{\frac{ab}{p(p-c)}}$$\ge \frac{4p}{\sqrt{3}}$$=\frac{2(a+b+c)}{\sqrt{3}}$

Dễ dàng thấy rằng tồn tại một tam giác $ABC$ có các cạnh tương ứng $a,b,c$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R$. Khi đó ta có thể viết điều cần chứng minh thành :

$\frac{a}{cos\frac{A}{2}}+\frac{b}{cos\frac{B}{2}}+\frac{c}{cos\frac{C}{2}}$$\ge \frac{2(a+b+c)}{\sqrt{3}}$$\iff sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2}$$\ge \frac{2}{\sqrt{3}}\left(sinA+sinB+sinC\right)$$\iff \frac{\sqrt{3}}{2}\left(sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2}\right)$$\ge \left(sin\frac{A}{2}.cos\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}.cos\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2}.cos\frac{C}{2}\right)$

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử $A\ge B\ge C$ khi đó hai dãy $\left(sin\frac{A}{2},sin\frac{B}{2},sin\frac{C}{2}\right),\left(cos\frac{A}{2},cos\frac{B}{2},cos\frac{C}{2}\right)$ ngược chiều.

Áp dụng BĐT $Tchebyshev$ :

$sin\frac{A}{2}.cos\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}.cos\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2}.cos\frac{C}{2}$$\le \frac{1}{3}\left(\sum _{cyc}sin\frac{A}{2}\right)\left(\sum _{cyc}cos\frac{A}{2}\right)$$\le \frac{1}{3}.\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(\sum _{cyc}sin\frac{A}{2}\right)$$=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\sum _{cyc}sin\frac{A}{2}\right)$

Ta có điều phải chứng minh.