Inequality

Bài toán (APMO 2002)

Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$. Chứng minh rằng :

$$\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge \sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}$$

Lời giải :

Ta đặt $\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\Rightarrow a+b+c=1$

Khi đó ta phải chứng minh :

$\sqrt{\frac{1}{a}+\frac{1}{bc}}+\sqrt{\frac{1}{b}+\frac{1}{ca}}+\sqrt{\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}}$$\ge \sqrt{\frac{1}{abc}}+\sqrt{\frac{1}{a}}+\sqrt{\frac{1}{b}}+\sqrt{\frac{1}{c}}$$\iff \sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}$$\ge 1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

Thật vậy, sử dụng giả thiết và BĐT $Cauchy-Schwarz$ :

$$\sqrt{a+bc}=\sqrt{a(a+b+c)+bc}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\ge a+\sqrt{bc}$$

Tương tự với các BĐT còn lại, sau đó cộng vế :

$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}$$\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$$=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$

Ta có điều phải chứng minh.