Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Thăng Long, Lâm Đồng) Giải hệ phương trình \[\left\{\begin{matrix} (1+x)(1+x^2)(1+x^4)=1+y^7\\ (1+y)(1+y^2)(1+y^4)=1+x^7 \end{matrix}\right.\] Lời giải : Nếu $xy<0$. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $x>0>y$. Khi ấy hệ vô nghiệm vì : \[(1+x)(1+x^2)(1+x^4)>1\] và \[1+y^7<1\]. Xét $x,y\geq 0$. Áp dụng BĐT $Holder$ : \[1+y^7=(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\geq (1+\sqrt[3]{x^7})^3\] Tương tự : $1+x^7=(1+y)(1+y^2)(1+y^4)\geq (1+\sqrt[3]{y^7})^3$ Nhân vế theo vế hai BĐT này thì được : \[(1+x^7)(1+y^7)\geq (1+\sqrt[3]{x^7})^3(1+\sqrt[3]{y^7})^3\] Mà vì $x,y\geq 0$ nên : \[(1+\sqrt[3]{x^7})^3=x^7+1+3\sqrt[3]{x^7}(\sqrt[3]{x^7}+1)\geq x^7+1\] \[(1+\sqrt[3]{y^7})^3=y^7+1+3\sqrt[3]{y^7}(\sqrt[3]{y^7}+1)\geq y^7+1\] Do đó \[(1+\sqrt[3]{x^7})^3(1+\sqrt[3]{y^7})^3\geq (1+x^7)(1+y^7)\] Kéo theo $(1+\sqrt[3]{x^7})^3(1+\sqrt[3]{y^7})^3= (1+x^7)(1+y^7)$ Đẳng thức phải xảy ra khi $x=y=0$ (thỏa mãn) Xét $x,y<0$. Nếu $x\neq y$.Không mất tính tổng quát ta giả sử $x<y<0$. Hệ có thể viết thành : \[\left\{\begin{matrix} (1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)=(1-x)(1+y^7)\\ (1-y)(1+y)(1+y^2)(1+y^4)=(1-y)(1+x^7) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1-x^8=1-x-xy^7+y^7\\ 1-y^8=1-y-yx^7+x^7 \end{matrix}\right.\] Dẫn đến : \[x^8-y^8=(x-y)+(x^7-y^7)-xy(x^6-y^6)\] Nhưng vì $x<y<0$ nên $x^8-y^8>0$ và $(x-y)+(x^7-y^7)-xy(x^6-y^6)<0$. Mâu thuẫn. Nếu $x=y$, ta giải quyết phương trình : \[(1+x)(1+x^2)(1+x^4)=1+x^7\Leftrightarrow x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x=0\Leftrightarrow x(x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0\Leftrightarrow x\in \left \{ 0,-1 \right \}\]. Ta nhận $x=-1$ vì đang xét $x<0$. Kết luận : Nghiệm của hệ là $\left ( x,y \right )=(0,0),(-1,-1)$

System Of Equations

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Thăng Long, Lâm Đồng)

Giải hệ phương trình

${(1 + x) (1 + x^{2}) (1 + x^{4}) = 1 + y^{7} (1 + y) (1 + y^{2}) (1 + y^{4}) = 1 + x^{7}$

Lời giải :

Nếu $x y < 0$ . Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử $x > 0 > y$ . Khi ấy hệ vô nghiệm vì :

$(1 + x) (1 + x^{2}) (1 + x^{4}) > 1$ và $1 + y^{7} < 1$ .

Xét $x, y \geq 0$ . Áp dụng BĐT $H o l d er$ :

$1 + y^{7} = (1 + x) (1 + x^{2}) (1 + x^{4}) \geq (1 + 3 x^{7})^{3}$

Tương tự : $1 + x^{7} = (1 + y) (1 + y^{2}) (1 + y^{4}) \geq (1 + 3 y^{7})^{3}$

Nhân vế theo vế hai BĐT này thì được :

$(1 + x^{7}) (1 + y^{7}) \geq (1 + 3 x^{7})^{3} (1 + 3 y^{7})^{3}$

Mà vì $x, y \geq 0$ nên :

$(1 + 3 x^{7})^{3} = x^{7} + 1 + 3 3 x^{7} (3 x^{7} + 1) \geq x^{7} + 1$

$(1 + 3 y^{7})^{3} = y^{7} + 1 + 3 3 y^{7} (3 y^{7} + 1) \geq y^{7} + 1$

Do đó

$(1 + 3 x^{7})^{3} (1 + 3 y^{7})^{3} \geq (1 + x^{7}) (1 + y^{7})$

Kéo theo $(1 + 3 x^{7})^{3} (1 + 3 y^{7})^{3} = (1 + x^{7}) (1 + y^{7})$

Đẳng thức phải xảy ra khi $x = y = 0$ (thỏa mãn)

Xét $x, y < 0$ . Nếu $x \neq = y$ .Không mất tính tổng quát ta giả sử $x < y < 0$ .

Hệ có thể viết thành :

${(1 - x) (1 + x) (1 + x^{2}) (1 + x^{4}) = (1 - x) (1 + y^{7}) (1 - y) (1 + y) (1 + y^{2}) (1 + y^{4}) = (1 - y) (1 + x^{7}) \Leftrightarrow {1 - x^{8} = 1 - x - x y^{7} + y^{7} 1 - y^{8} = 1 - y - y x^{7} + x^{7}$

Dẫn đến :

$x^{8} - y^{8} = (x - y) + (x^{7} - y^{7}) - x y (x^{6} - y^{6})$

Nhưng vì $x < y < 0$ nên $x^{8} - y^{8} > 0$ và $(x - y) + (x^{7} - y^{7}) - x y (x^{6} - y^{6}) < 0$ . Mâu thuẫn.

Nếu $x = y$ , ta giải quyết phương trình :

$(1 + x) (1 + x^{2}) (1 + x^{4}) = 1 + x^{7} \Leftrightarrow x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x = 0 \Leftrightarrow x (x + 1) (x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1) = 0 \Leftrightarrow x \in {0, - 1}$ .

Ta nhận $x = - 1$ vì đang xét $x < 0$ .

Kết luận : Nghiệm của hệ là $(x, y) = (0, 0), (- 1, - 1)$

System Of Equations

Đề bài

Mô tả