Inequality

Bài toán (Crux Mathematicorum) Cho các số dương $x,y,z$. Chứng minh :

$$\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}\le 1$$

Lời giải :

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ :

$\sqrt{(x+y)(x+z)}$$\ge \sqrt{xz}+\sqrt{xy}$$\Rightarrow \frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}$$\le \frac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}$$=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$

Hoàn toàn tương tự ta có :

$\frac{y}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)}}$$\le \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}},\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}$$\le \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$

Do đó :

$\frac{x}{x+\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{y+\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{z}{z+\sqrt{(z+x)(z+y)}}$$\le \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$$=1$

Đây là điều phải chứng minh.