Inequality

Bài toán : Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $ab+bc+ca=abc$. Chứng minh rằng :

$$\frac{\sqrt{b^2+2a^2}}{ab}+\frac{\sqrt{c^2+2b^2}}{bc}+\frac{\sqrt{a^2+2c^2}}{ac}\ge \sqrt{3}$$

Lời giải :

Ta đổi biến $\left(a,b,c\right)\to \left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)$ thì giả thiết trở thành $x+y+z=1$.

Và cần chứng minh :

$\frac{\sqrt{\frac{1}{y^2}+\frac{2}{x^2}}}{\frac{1}{xy}}+\frac{\sqrt{\frac{1}{z^2}+\frac{2}{y^2}}}{\frac{1}{yz}}+\frac{\sqrt{\frac{1}{x^2}+\frac{2}{z^2}}}{\frac{1}{zx}}$$\ge \sqrt{3}$$\iff \sqrt{x^2+2y^2}+\sqrt{y^2+2z^2}+\sqrt{z^2+2x^2}$$\ge \sqrt{3}$

Điều này luôn đúng theo BĐT $Minkowski$ :

$$\sqrt{x^2+2y^2}+\sqrt{y^2+2z^2}+\sqrt{z^2+2x^2}\ge \sqrt{(x+y+z{)}^2+2(x+y+z{)}^2}=\sqrt{3}$$