Inequality

Bài toán : Cho các số thực dương $x,y,z$ thoả mãn $xyz=x+y+z+2$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{y^3+1}}+\frac{1}{\sqrt{z^3+1}}\ge 1$$

Lời giải :

Theo BĐT $AM-GM$ ta có :

$\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}$$=\frac{1}{\sqrt{(x+1)(x^2-x+1)}}$$\ge \frac{2}{(x+1)+(x^2-x+1)}$$=\frac{2}{x^2+2}$

Tương tự với hai phân thức còn lại, dẫn đến việc chứng minh :

$\frac{1}{x^2+2}+\frac{1}{y^2+2}+\frac{1}{z^2+2}$$\ge \frac{1}{2}$$\iff \frac{\sum _{cyc}(x^2+2)(y^2+2)}{(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2)}$$\ge \frac{1}{2}$$\iff 2\left[(x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2)+4(x^2+y^2+z^2)+12\right]$$\ge x^2{y}^2{z}^2+4(x^2+y^2+z^2)+2(x^2{y}^2+y^2{z}^2+z^2{x}^2)+8$$\iff 4(x^2+y^2+z^2)+16$$\ge x^2{y}^2{z}^2$

Áp dụng giả thiết $xyz=x+y+z+2$, ta cần chứng minh :

$4(x^2+y^2+z^2)+16$$\ge (x+y+z+2{)}^2$$\iff 3(x^2+y^2+z^2)+12$$\ge 4(x+y+z)+2(xy+yz+zx)(\ast )$

Ta có

 $$2(x^2+y^2+z^2)\ge 2(xy+yz+zx)(1)$$

Và

$$x^2+y^2+z^2+12\ge \frac{1}{3}(x+y+z{)}^2+12\ge 2\sqrt{\frac{1}{3}.12.(x+y+z{)}^2}=4(x+y+z)(2)$$

Cộng vế theo vế $(1)(2)$ thì ta được $(\ast )$, từ đó ta có điều phải chứng minh.