Inequality

Bài toán : Cho các số dương $x,y,z$ thỏa $x+y+z=xyz$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1+\sqrt{x^2+1}}{x}+\frac{1+\sqrt{y^2+1}}{y}+\frac{1+\sqrt{z^2+1}}{z}\le xyz$$

Lời giải :

Gỉa thiết đã cho có thể viết $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$ và cần chứng minh :

$\frac{1}{x}+\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}+\frac{1}{y}+\sqrt{1+\frac{1}{y^2}}+\frac{1}{z}+\sqrt{1+\frac{1}{z^2}}$$\le xyz$

Ta đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}\to ab+bc+ca=1$. Cần chứng minh :

$$(a+b+c)+\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}\le \frac{1}{abc}$$

Thật vậy,

Theo $AM-GM$ :

$$\sqrt{a^2+1}=\sqrt{a^2+ab+bc+ca}=\sqrt{(a+b)(a+c)}\le \frac{2a+b+c}{2}$$

Do đó :

$(a+b+c)+\sqrt{a^2+1}+\sqrt{b^2+1}+\sqrt{c^2+1}$$\le (a+b+c)+\frac{2a+b+c}{2}+\frac{a+2b+c}{2}+\frac{a+b+2c}{2}$$=3(a+b+c)$

Tức là chỉ cần chứng minh :

$3(a+b+c)$$\le \frac{1}{abc}$$\iff 3abc(a+b+c)$$\le (ab+bc+ca{)}^2$$\iff (ab-bc{)}^2+(bc-ca{)}^2+(ca-ab{)}^2$$\ge 0$

Điều này luôn đúng. Ta có điều phải chứng minh.