Inequality

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Long An, tỉnh Long An)

 Cho các số dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c=1$. Chứng minh rằng :

$$\frac{1}{a^2(1+a)}+\frac{1}{b^2(1+b)}+\frac{1}{c^2(1+c)}\ge \frac{3}{4abc}$$

Lời giải :

Nhân hai vế của BĐT cần chứng minh với $a^2{b}^2{c}^2$ ta cần chỉ ra :

$$\frac{b^2{c}^2}{1+a}+\frac{c^2{a}^2}{1+b}+\frac{a^2{b}^2}{1+c}\ge \frac{3abc}{4}$$

Điều này hiển nhiên đúng theo $Cauchy-Schwarz$ :

$\frac{b^2{c}^2}{1+a}+\frac{c^2{a}^2}{1+b}+\frac{a^2{b}^2}{1+c}$$\ge \frac{(ab+bc+ca{)}^2}{3+a+b+c}$$\ge \frac{3abc(a+b+c)}{3+a+b+c}$$=\frac{3abc}{4}$

Ta được điều phải chứng minh.