Bài toán : Cho các số thực dương $a,b,c$. Chứng minh rằng : \[\dfrac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{a}}{b+c}+\dfrac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{b}}{a+c}+\dfrac{\sqrt{a+b+c}+\sqrt{c}}{b+c}\geq \dfrac{9+3\sqrt{3}}{2\sqrt{a+b+c}}\] Lời giải : Bất đẳng thức này là thuần nhất nên ta chuẩn hóa $a+b+c=1$. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành : \[\dfrac{1+\sqrt{a}}{b+c}+\dfrac{1+\sqrt{b}}{c+a}+\dfrac{1+\sqrt{c}}{a+b}\geq \dfrac{9+3\sqrt{3}}{2}\] Ta đổi biến $a=x^2,b=y^2,c=z^2$ thì $x^2+y^2+z^2=1$ và cần chứng minh : \[\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{y^2+z^2}+\dfrac{1}{z^2+x^2}+\dfrac{x}{y^2+z^2}+\dfrac{y}{z^2+x^2}+\dfrac{z}{x^2+y^2}\geq \dfrac{9+3\sqrt{3}}{2}\] Thật vậy, theo $AM-GM$ \[x(1-x^2)=x(1-x)(1+x)=\dfrac{1}{(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)}.(1-x)\left [ (2-\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})x \right ].(\sqrt{3}-1)x\leq \dfrac{1}{(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}-1)}.\left [ \dfrac{(1-x)+(2-\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})x+(\sqrt{3}-1)x}{3} \right ]^3=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\Leftrightarrow \dfrac{x}{1-x^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}x^2}{2}\Leftrightarrow \dfrac{x}{y^2+z^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}x^2}{2}\] Kéo theo : \[\dfrac{x}{y^2+z^2}+\dfrac{y}{z^2+x^2}+\dfrac{z}{x^2+y^2}\geq \dfrac{3\sqrt{3}}{2}(x^2+y^2+z^2)=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\;\;\;\;(1)\] Hơn nữa theo $Cauchy-Schwarz$ ta còn có : \[\dfrac{1}{y^2+z^2}+\dfrac{1}{z^2+x^2}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\geq \dfrac{9}{2(x^2+y^2+z^2)}=\dfrac{9}{2}\;\;\;(2)\] Cộng vế theo vế $(1)(2)$ ta được điều phải chứng minh.

Inequality

Bài toán : Cho các số thực dương $a, b, c$ . Chứng minh rằng :

$\frac{a + b + c + a}{b + c} + \frac{a + b + c + b}{a + c} + \frac{a + b + c + c}{b + c} \geq \frac{9 + 3 3}{2 a + b + c}$

Lời giải :

Bất đẳng thức này là thuần nhất nên ta chuẩn hóa $a + b + c = 1$ .

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành :

$\frac{1 + a}{b + c} + \frac{1 + b}{c + a} + \frac{1 + c}{a + b} \geq \frac{9 + 3 3}{2}$

Ta đổi biến $a = x^{2}, b = y^{2}, c = z^{2}$ thì $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ và cần chứng minh :

$\frac{1}{x ^{2} + y ^{2}} + \frac{1}{y ^{2} + z ^{2}} + \frac{1}{z ^{2} + x ^{2}} + \frac{x}{y ^{2} + z ^{2}} + \frac{y}{z ^{2} + x ^{2}} + \frac{z}{x ^{2} + y ^{2}} \geq \frac{9 + 3 3}{2}$

Thật vậy, theo $A M - GM$

$x (1 - x^{2}) = x (1 - x) (1 + x) = \frac{1}{( 2 - 3 ) ( 3 - 1 )} . (1 - x) [(2 - 3) + (2 - 3) x] . (3 - 1) x \leq \frac{1}{( 2 - 3 ) ( 3 - 1 )} . [\frac{( 1 - x ) + ( 2 - 3 ) + ( 2 - 3 ) x + ( 3 - 1 ) x}{3}]^{3} = \frac{2 3}{9} \Leftrightarrow \frac{x}{1 - x ^{2}} \geq \frac{3 3 x ^{2}}{2} \Leftrightarrow \frac{x}{y ^{2} + z ^{2}} \geq \frac{3 3 x ^{2}}{2}$

Kéo theo :

$\frac{x}{y ^{2} + z ^{2}} + \frac{y}{z ^{2} + x ^{2}} + \frac{z}{x ^{2} + y ^{2}} \geq \frac{3 3}{2} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) = \frac{3 3}{2} (1)$

Hơn nữa theo $C a u c h y - S c h w a r z$ ta còn có :

$\frac{1}{y ^{2} + z ^{2}} + \frac{1}{z ^{2} + x ^{2}} + \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}} \geq \frac{9}{2 ( x ^{2} + y ^{2} + z ^{2} )} = \frac{9}{2} (2)$

Cộng vế theo vế $(1) (2)$ ta được điều phải chứng minh.

Inequality

Đề bài

Mô tả