Combinatorics

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Bình Định)

Cho bát giác $A_1{A}_2...A_8$ có tính chất : Tất cả các đỉnh có tọa độ nguyên và độ dài tất cả các cạnh là những số nguyên.  Chứng minh rằng chu vi đa giác là một số chẵn.

Lời giải :

Ta gọi $A_i\left(a_i,b_i\right),\forall i=\overline{1,8}$ trong đó $a_i,b_i\in \mathbb{Z},\forall i=\overline{1,8}$

Ta có :

$$A_i{A}_{i+1}=\sqrt{(a_{i+1}-a_i{)}^2+(b_{i+1}-b_i{)}^2}$$ với quy ước $$A_9\equiv A_1,a_9=a_1,b_9=b_1$$

Gọi $P$ là chu vi bát giác. Ta có :

$P^2$$=(\underset{i=1}{\sum ^8}{A}_i{A}_{i+1}{)}^2$$=\underset{i=1}{\sum ^8}{A}_i{A}_{i+1}^2+2\sum _{1\le i=j\le 8}{A}_i{A}_{i+1}.A_j{A}_{j+1}$

Ta có

$\underset{i=1}{\sum ^8}{A}_i{A}_{i+1}^2$$=\underset{i=1}{\sum ^8}\left((a_{i+1}-a_i{)}^2+(b_{i+1}-b_i{)}^2\right)$$=2\underset{i=1}{\sum _8}(a_i^2+b_i^2)-2\underset{i=1}{\sum ^8}(a_i{a}_{i+1}+b_i{b}_{i+1})$

Là một số chẵn

Do vậy :

$$P^2$$ chẵn, kéo theo $$P$$ chẵn.

Ta có điều phải chứng minh.