Bài toán : Cho tam giác $ABC$ thỏa điều kiện $C\leq B\leq A\leq \dfrac{\pi }{2}$. Chứng minh rằng : \[P=cos\dfrac{A-B}{2}sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}\leq \dfrac{1}{4}\] Lời giải : Ta có : \[P=cos\dfrac{A-B}{2}sin\dfrac{A}{2}sin\dfrac{B}{2}=\dfrac{1}{2}cos\dfrac{A-B}{2}\left ( cos\dfrac{A-B}{2}-cos\dfrac{A+B}{2} \right )=\frac{1}{4}\left [ 1+cos(A-B) -cosA-cosB\right ]\] Mặt khác : \[cos(A-B)=\dfrac{sin2A+sin2B}{2sinC}=\dfrac{sinA}{sinC}.cosA+\dfrac{sinB}{sinC}.cosB\geq cosA+cosB\] Do vậy : \[P\leq \dfrac{1}{4}\] Ta có điều phải chứng minh.

Trigonometry

Bài toán : Cho tam giác $A B C$ thỏa điều kiện $C \leq B \leq A \leq \frac{π}{2}$ .

Chứng minh rằng :

$P = cos \frac{A - B}{2} s in \frac{A}{2} s in \frac{B}{2} \leq \frac{1}{4}$

Lời giải :

Ta có :

$P = cos \frac{A - B}{2} s in \frac{A}{2} s in \frac{B}{2} = \frac{1}{2} cos \frac{A - B}{2} (cos \frac{A - B}{2} - cos \frac{A + B}{2}) = \frac{1}{4} [1 + cos (A - B) - cos A - cos B]$

Mặt khác :

$cos (A - B) = \frac{s in 2 A + s in 2 B}{2 s in C} = \frac{s in A}{s in C} . cos A + \frac{s in B}{s in C} . cos B \geq cos A + cos B$

Do vậy :

$P \leq \frac{1}{4}$

Ta có điều phải chứng minh.

Trigonometry

Đề bài

Mô tả