Bài toán : Cho tam giác $ABC$ có ba đường trung tuyến $AM,BN,CP$ đồng quy tại $G$ và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ lần lượt tại $D,E,F$. Chứng minh rằng : \[\dfrac{1}{GD}+\dfrac{1}{GE}+\dfrac{1}{GF}\leq \sqrt{3}\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right )\] Lời giải : Ta có $MD.MA=MB.MC\Rightarrow MD=\dfrac{a^4}{4m_a}$ Do đó : \[GD=GM+MD=\dfrac{1}{3}m_a+\dfrac{a^2}{4m_a}\geq \dfrac{a}{\sqrt{3}}\] Suy ra $\dfrac{1}{GD}\leq \dfrac{\sqrt{3}}{a}$ Hoàn toàn tương tự ta được : $\dfrac{1}{GE}\leq \dfrac{\sqrt{3}}{b},\dfrac{1}{GF}\leq \dfrac{\sqrt{3}}{c}$ Từ đó suy ra : \[\dfrac{1}{GD}+\dfrac{1}{GE}+\dfrac{1}{GF}\leq \sqrt{3}\left ( \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c} \right )\] Đây là điều phải chứng minh.

Inequality In Triangle

0 lượt xem 22/06/2026

Đề bài

Bài toán : Cho tam giác $A B C$ có ba đường trung tuyến $A M, B N, C P$ đồng quy tại $G$ và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ lần lượt tại $D, E, F$ . Chứng minh rằng :

$\frac{1}{G D} + \frac{1}{GE} + \frac{1}{GF} \leq 3 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$

Lời giải :

Ta có $M D . M A = M B . M C \Rightarrow M D = \frac{a ^{4}}{4 m _{a}}$

Do đó :

$G D = GM + M D = \frac{1}{3} m_{a} + \frac{a ^{2}}{4 m _{a}} \geq \frac{a}{3}$

Suy ra $\frac{1}{G D} \leq \frac{3}{a}$

Hoàn toàn tương tự ta được : $\frac{1}{GE} \leq \frac{3}{b}, \frac{1}{GF} \leq \frac{3}{c}$

Từ đó suy ra :

$\frac{1}{G D} + \frac{1}{GE} + \frac{1}{GF} \leq 3 (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c})$

Đây là điều phải chứng minh.

Mô tả

Bài toán : Cho tam giác có ba đường trung tuyến đồng quy tại và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác lần lượt tại . Chứng minh rằng : Lời giải : Ta có Do đó : Suy ra Hoàn toàn tương tự ta được : Từ đó suy ra : Đây là điều […]

Hình học phẳngBất đẳng thức hình họcHệ thức lượng trong tam giác

Nguồn: julielltv