Inequality

Bài toán : Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

$$P=9xy+10yz+11zx$$

Lời giải :

Thay $z=1-x-y$ vào $P$ :

$$P=9xy+z(10y+11x)=9xy+(1-x-y)(10y+11x)=-11x^2-10y^2-xy+11x+10y$$

Hay :

$$11x^{2}x+x(12y-11)+10y^2-10y+P=0$$

Coi đây là một tam thức bậc hai theo ẩn $x$, điều kiện để tồn tại $x$ là :

$\Delta$$=(12y-11{)}^2-44(10y^2-10y+P)$$\ge 0$$\iff P$$\le \frac{-296y^2+176y+121}{44}$$=-\frac{74}{11}\left(y^2-\frac{22}{37}y-\frac{121}{296}\right)$

Mặt khác sử dụng phương pháp phân tích bình phương, ta được :

$$y^2-\frac{22}{37}y-\frac{121}{296}\ge \frac{-5445}{10952}$$

Ta suy ra :

$$P\le \frac{495}{148}$$

Kết luận : $MaxP=\frac{495}{148}\iff y=11/37,x=25/74,z=27/74$