Combinatorics

Bài toán   (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2013 THPT Chuyên Vị Thanh, Hậu Giang)

Trong hình vuông cạnh bằng $8$ ta lấy $100$ điểm bất kì. Chứng minh rằng có ít nhất $4$ điểm nằm trong hình tròn có bán kính bằng $1$.

Lời giải :

Vẽ hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $10$ có cùng tâm, các cạnh tương ứng song song với hình vuông ban đầu.

Vẽ $100$ hình tròn bán kính bằng $1$ có tâm tương ứng là $100$ điểm đã cho.

Khi đó $100$ hình tròn này đều nằm trong hình vuông $ABCD$.

Ta có tổng diện tích hình tròn là $100\pi$, diện tích hình vuông $ABCD$ là $100$.

Vì $100\pi >3.100$ nên theo nguyên lí $Dirichlet$ tồn tại $4$ hình tròn $(M,1),(N,1),(P,1),(Q,1)$ có điểm chung là $I$.

Suy ra đường tròn $(I,1)$ sẽ chứa bốn điểm $M,N,P,Q$. Đây là điều phải chứng minh.