Polynomial

Bài toán : Chứng minh rằng với mỗi đa thức hệ số nguyên $x^2+px+q$ thì luôn tồn tại một đa thức hệ số nguyên $2x^2+rx+s$ sao cho hai tập hợp các giá trị của hai đa thức trên tập số nguyên thì rời nhau.

Lời giải :

Nếu $p$ lẻ thì $x^2+px$ chẵn, do đó $x^2+px+q$ cùng tính chẵn lẻ với $q$. Khi đó ta chỉ cần chọn $r$ chẵn và $s$ khác tính chẵn lẻ với $q$ thì hiển nhiên tập giá trị trên tập số nguyên của hai đa thức $x^2+px+q$ và $2x^2+rx+s$ là không trùng nhau.

Nếu $p$ chẵn, đặt $p=2m$. Ta có :

$$x^2+px+q=(x+m{)}^2+(q-m^2)\equiv q-m^2,q-m^2+1(mod4)$$

Do đó ta sẽ chọn $r=2$ và $s\equiv q-m^2+2(mod4)$ thì :

$$2x^2+rx+s=2x(x+1)+s\equiv q-m^2+2(mod4)$$

Tức là bài toán được thỏa mãn.

Ta có điều phải chứng minh.