Equation

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Hùng Vương, Bình Dương) 

Giải phương trình 

$$4x=\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{x+30}}}}$$

Lời giải :

Điều kiện $x\ge 0$.

Đặt $\frac{1}{4}\sqrt{x+30}=y\ge 0$ thì $4x=\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{30+y}}}$

Đặt $\frac{1}{4}\sqrt{30+y}=z\ge 0$ thì $4x=\sqrt{30+\frac{1}{4}\sqrt{30+z}}$

Đặt $\frac{1}{4}\sqrt{30+z}=t\ge 0$ thì $4x=\sqrt{30+t}$

Ta được hệ phương trình hoán vị vòng quanh :

$$\{\begin{array}{c}16x^2=30+t\\ 16y^2=30+x\\ 16z^2=30+y\\ 16t^2=30+z\end{array}$$

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $x=max\left\{x,y,z,t\right\}$ ta có :

$x$$\ge y$$\Rightarrow 30+x$$\ge 30+y$$\Rightarrow 16y^2$$\ge 16z^2$$\Rightarrow y$$\ge z(1)$$\Rightarrow 30+y$$\ge 30+z$$\Rightarrow 16z^2$$\ge 16t^2$$\Rightarrow z$$\ge t(2)$$\Rightarrow 30+z$$\ge 30+t$$\Rightarrow 16t^2$$\ge 16x^2$$\Rightarrow t$$\ge x(3)$

Từ $(1)(2)(3)$ ta được $y\ge x$, kết hợp với giả sử ban đầu ta suy ra $x=y$.

Hoàn toàn tương tự ta được $x=y=z=t$

Dẫn đến phương trình $16x^2=30+x\iff x=\frac{1+\sqrt{1921}}{32}(x\ge 0)$

Thử lại ta thấy thỏa mãn.

Kết luận : Nghiệm của phương trình là $x=\frac{1+\sqrt{1921}}{32}$