Number Theory

Bài toán : Tìm các số nguyên dương $m,n$ thỏa mãn 

$$m!+n!=m^n$$

Lời giải :

Nếu $m>n$ thì :

$$m!+n!=n!\left[(n+1)(n+2)...m+1\right]=m^n$$

Điều này không xảy ra vì $gcd(m,(n+1)(n+2)...m+1)=1$

Do đó phải có $m\le n$.

Nếu $m>2$ thì :

$m!+n!$$=m!\left(1+(m+1)(m+2)...n\right)$$=m^n$$\iff (m-2)!.(m-1)m\left[1+(m+1)(m+2)...n\right]$$=m^n$

Điều này cũng không xảy ra vì $gcd(m-1,m)=1$.

Do vậy $m\le 2$. Khi $m=1$ ta được $1!+n!=1^n$, không tồn tại $n$ thỏa mãn

Khi $m=2$ ta được :

$$n!+2=2^n$$

Nếu $n>4$ thì :

$$n!=\mathrm{1.2.3.4...}n>2^4.\underset{n-4}{\underbrace{\mathrm{2...2.2}}}=2^n\Rightarrow n!+2>2^n$$

Từ đó kiểm tra ta được cặp $(m,n)=(2,2),(2,3)$

Kết luận : Nghiệm nguyên dương của phương trình là $\boxed{(m,n)=(2,2),(2,3)}$