Inequality

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 10 năm 2010 THPT Chuyên Lê Qúy Đôn, Bình Định)

Cho ba số dương $x,y,z$ thỏa mãn $\{\begin{array}{c}1\le z\le min\left\{x,y\right\}\\ xz\ge 3\\ yz\ge 2\end{array}$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 

$$P=\frac{30}{x}+\frac{4}{y}+\frac{2010}{z}$$

Lời giải :

Ta viết $P$ thành :

$P$$=30\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)+4\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\frac{1976}{z}$

Áp dụng công thức khai triển $Abel$ :

$\frac{1}{3}+1$$=\frac{x}{3}.\frac{1}{x}+\frac{z}{1}.\frac{1}{z}$$=\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x}\right)\frac{z}{1}+\frac{1}{x}\left(\frac{x}{3}+\frac{z}{1}\right)$$\ge \left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{x}.2\sqrt{\frac{xz}{3}}$$\ge \frac{1}{z}-\frac{1}{x}+\frac{2}{x}$$=\frac{1}{x}+\frac{1}{z}$

Và :

$\frac{1}{2}+1$$=\frac{y}{2}.\frac{1}{y}+\frac{z}{1}.\frac{1}{z}$$=\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{y}\right)\frac{z}{1}+\frac{1}{y}\left(\frac{y}{2}+\frac{z}{1}\right)$$\ge \left(\frac{1}{z}-\frac{1}{y}\right)+\frac{1}{y}.2\sqrt{\frac{yz}{2}}$$\ge \frac{1}{z}-\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$$=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

Do đó :

$$P\le 30\left(1+\frac{1}{3}\right)+4\left(1+\frac{1}{2}\right)+\frac{1976}{1}=2022$$

Kết luận : $MaxP=2022\iff x=3,y=2,z=1$