Bài toán : Cho $p_1,p_2,p_3,p_4$ là bốn số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng không tồn tại đa thức $Q(x)$ bậc ba hệ số nguyên thỏa mãn $\left | Q(p_1) \right |=\left | Q(p_2) \right |=\left | Q(p_3) \right |=\left | Q(p_4) \right |=3$. Lời giải : Ta xét các trường hợp sau : a) Nếu cả bốn giá trị $Q(p_1),Q(p_2),Q(p_3),Q(p_4)$ đều bằng nhau. Không mất tính tổng quát, ta giả sử $Q(p_1)=Q(p_2)=Q(p_3)=Q(p_4)=3$. Xét đa thức $Q(x)=P(x)-3,\;\;P(x)\in \mathbb{Z}\left [ x \right ],degP(x)=3$ Ta có $P(p_1)=P(p_2)=P(p_3)=P(p_4)=0$, điều này mâu thuẫn với $degP(x)=3$. b) Nếu trong bốn giá trị $Q(p_1),Q(p_2),Q(p_3),Q(p_4)$ có ba giá trị bằng nhau. Ta giả sử $Q(p_1)=Q(p_2)=Q(p_3)=-3,Q(p_4)=3$. Khi đó ta có : \[Q(x)=a(x-p_1)(x-p_2)(x-p_3)-3,\;\;a\in \mathbb{Z}\] Ta có \[Q(p_4)=a(p_4-p_1)(p_4-p_2)(p_4-p_3)-3=3\Rightarrow |a(p_4-p_1)(p_4-p_2)(p_4-p_3)|=6\] Nếu $p_4$ lẻ thì do $p_1,p_2,p_3,p_4$ phân biệt nên tồn tại ít nhất hai số nguyên tố lẻ trong ba số $p_1,p_2,p_3$, giả sử $p_2,p_3$ lẻ. Khi đó $6=a(p_4-p_1)(p_4-p_2)(p_4-p_3)\;\vdots\; (p_4-p_2)(p_4-p_3)\vdots 4$, điều này vô lí. Nếu $p_4$ chẵn, $p_4=2$. Khi đó dễ thấy $\left | a(p_4-p_1)(p_4-p_2)(p_4-p_3) \right |=\left | a(p_1-2)(p_2-2)(p_3-2) \right |\geq \left | a(3-2)(5-2)(7-2) \right |>6$, mâu thuẫn. c) Nếu trong bốn giá trị $Q(p_1),Q(p_2),Q(p_3),Q(p_4)$ có hai giá trị bằng $3$ và hai giá trị bằng $-3$. Không mất tính tổng quát, ta giả sử $Q(p_1)=Q(p_2)=-3,Q(p_3)=Q(p_4)=3$. Ta đặt $Q(x)=(x-p_1)(x-p_2)G(x)-3,\;\;G\left ( x \right )\in \mathbb{Z}\left [ x \right ],degG(x)=1$ Thì : \[Q(p_3)=Q(p_4)=3\Rightarrow (p_3-p_1)(p_3-p_2)G(p_3)=(p_4-p_1)(p_4-p_2)G(p_4)=6\] Nếu $p_1=2$ thì $Q(p_3)-Q(2)\;\vdots \;p_3-2\Rightarrow p_3-2\mid 6$, chú ý $p_3-2$ lẻ ta có $p_3\in \left \{ 3,5 \right \}$. Tương tự $p_4\in \left \{ 3,5 \right \}$. Mà $p_3,p_4$ phân biệt nên không mất tính tổng quát, ta giả sử $p_3=3,p_4=5$. Lúc này $(p_4-p_1)(p_4-p_2)\mid 6\Rightarrow (5-p_2)\mid 2\Rightarrow p_2\in \left \{ 7,3 \right \}$ Nhưng vì $p_1,p_2,p_3,p_4$ phân biệt nên $p_2=7$. Nhưng khi đó $6\;\vdots \;(p_3-p_1)(p_3-p_2)=-4$, vô lí. Tương tự khi xét $p_2=2,p_3=2,p_4=2$ ta cũng đều gặp mâu thuẫn. Do vậy các số $p_1,p_2,p_3,p_4$ đều lẻ. Kéo theo $(p_3-p_1)(p_3-p_2),(p_4-p_1)(p_4-p_2)$ đều chia hết cho $4$, vô lí. Ta có điều phải chứng minh

Polynomial

Bài toán : Cho $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$ là bốn số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng không tồn tại đa thức $Q (x)$ bậc ba hệ số nguyên thỏa mãn $∣ Q (p_{1}) ∣ = ∣ Q (p_{2}) ∣ = ∣ Q (p_{3}) ∣ = ∣ Q (p_{4}) ∣ = 3$ .

Lời giải :

Ta xét các trường hợp sau :

a) Nếu cả bốn giá trị $Q (p_{1}), Q (p_{2}), Q (p_{3}), Q (p_{4})$ đều bằng nhau.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $Q (p_{1}) = Q (p_{2}) = Q (p_{3}) = Q (p_{4}) = 3$ .

Xét đa thức $Q (x) = P (x) - 3, P (x) \in Z [x], d e g P (x) = 3$

Ta có $P (p_{1}) = P (p_{2}) = P (p_{3}) = P (p_{4}) = 0$ , điều này mâu thuẫn với $d e g P (x) = 3$ .

b) Nếu trong bốn giá trị $Q (p_{1}), Q (p_{2}), Q (p_{3}), Q (p_{4})$ có ba giá trị bằng nhau.

Ta giả sử $Q (p_{1}) = Q (p_{2}) = Q (p_{3}) = - 3, Q (p_{4}) = 3$ .

Khi đó ta có :

$Q (x) = a (x - p_{1}) (x - p_{2}) (x - p_{3}) - 3, a \in Z$

Ta có

$Q (p_{4}) = a (p_{4} - p_{1}) (p_{4} - p_{2}) (p_{4} - p_{3}) - 3 = 3 \Rightarrow ∣ a (p_{4} - p_{1}) (p_{4} - p_{2}) (p_{4} - p_{3}) ∣ = 6$

Nếu $p_{4}$ lẻ thì do $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$ phân biệt nên tồn tại ít nhất hai số nguyên tố lẻ trong ba số $p_{1}, p_{2}, p_{3}$ , giả sử $p_{2}, p_{3}$ lẻ. Khi đó $6 = a (p_{4} - p_{1}) (p_{4} - p_{2}) (p_{4} - p_{3}) ⋮ (p_{4} - p_{2}) (p_{4} - p_{3}) ⋮ 4$ , điều này vô lí.

Nếu $p_{4}$ chẵn, $p_{4} = 2$ .

Khi đó dễ thấy $∣ a (p_{4} - p_{1}) (p_{4} - p_{2}) (p_{4} - p_{3}) ∣ = ∣ a (p_{1} - 2) (p_{2} - 2) (p_{3} - 2) ∣ \geq ∣ a (3 - 2) (5 - 2) (7 - 2) ∣ > 6$ , mâu thuẫn.

c) Nếu trong bốn giá trị $Q (p_{1}), Q (p_{2}), Q (p_{3}), Q (p_{4})$ có hai giá trị bằng $3$ và hai giá trị bằng $- 3$ .

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $Q (p_{1}) = Q (p_{2}) = - 3, Q (p_{3}) = Q (p_{4}) = 3$ .

Ta đặt $Q (x) = (x - p_{1}) (x - p_{2}) G (x) - 3, G (x) \in Z [x], d e g G (x) = 1$

Thì :

$Q (p_{3}) = Q (p_{4}) = 3 \Rightarrow (p_{3} - p_{1}) (p_{3} - p_{2}) G (p_{3}) = (p_{4} - p_{1}) (p_{4} - p_{2}) G (p_{4}) = 6$

Nếu $p_{1} = 2$ thì $Q (p_{3}) - Q (2) ⋮ p_{3} - 2 \Rightarrow p_{3} - 2 ∣ 6$ , chú ý $p_{3} - 2$ lẻ ta có $p_{3} \in {3, 5}$ . Tương tự $p_{4} \in {3, 5}$ . Mà $p_{3}, p_{4}$ phân biệt nên không mất tính tổng quát, ta giả sử $p_{3} = 3, p_{4} = 5$ .

Lúc này $(p_{4} - p_{1}) (p_{4} - p_{2}) ∣ 6 \Rightarrow (5 - p_{2}) ∣ 2 \Rightarrow p_{2} \in {7, 3}$

Nhưng vì $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$ phân biệt nên $p_{2} = 7$ .

Nhưng khi đó $6 ⋮ (p_{3} - p_{1}) (p_{3} - p_{2}) = - 4$ , vô lí.

Tương tự khi xét $p_{2} = 2, p_{3} = 2, p_{4} = 2$ ta cũng đều gặp mâu thuẫn.

Do vậy các số $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$ đều lẻ.

Kéo theo $(p_{3} - p_{1}) (p_{3} - p_{2}), (p_{4} - p_{1}) (p_{4} - p_{2})$ đều chia hết cho $4$ , vô lí.

Ta có điều phải chứng minh

Polynomial

Đề bài

Mô tả