Inequality

Bài toán (Romania-Balkan TST 2006) 

Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=1$. Chứng minh rằng :

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge 3(a^2+b^2+c^2)$$

Lời giải :

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có :

$$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge \frac{(a^2+b^2+c^2{)}^2}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$$

Do vậy chỉ cần chứng minh :

$\frac{(a^2+b^2+c^2{)}^2}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$$\ge 3(a^2+b^2+c^2)$$\iff a^2+b^2+c^2$$\ge 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

Thuần nhất hóa :

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$$\ge 3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$$\iff a^3+a{b}^2+b^3+b{c}^2+c^3+c{a}^2$$\ge 2(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)$

Điều này luôn đúng theo $AM-GM$ :

$$a^3+a{b}^2\ge 2a^{2}b,b^3+b{c}^2\ge 2b^{2}c,c^3+c{a}^2\ge 2c^{2}a$$