Functional Equation

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$f\left(\frac{x+y}{3}\right)$$=\frac{f(x)+f(y)}{2},\forall x,y\in \mathbb{Z},3\mid x+y(1)$

Lời giải :

Đặt $f(0)=c$.

Trong $(1)$ cho $x=2,y=1$ ta được $f(1)=\frac{f(1)+f(2)}{2}\Rightarrow f(1)=f(2)$

Trong $(1)$ cho $x=y=3$ ta được $f(2)=\frac{f(3)+f(3)}{2}\Rightarrow f(2)=f(3)$

Trong $(1)$ cho $x=3,y=0$ ta được $f(1)=\frac{f(3)+f(0)}{2}\Rightarrow f(3)=f(0)=c$

Do vậy ta tính được $f(1)=f(2)=f(3)=c$.

Gỉa sử $f(k)=c,\forall k=\overline{0,n},n\ge 3$

• Nếu $n\equiv 0(mod3)$ thì :

$f\left(\frac{n+3}{3}\right)$$=\frac{f(n+1)+f(2)}{2}$$\Rightarrow f(n+1)$$=2f\left(\frac{n+3}{2}\right)-f(2)$$=2c-c$$=c$

• Nếu $n\equiv 1(mod3)$ thì :

$$f\left(\frac{n+2}{3}\right)=\frac{f(n+1)+f(1)}{2}\Rightarrow f(n+1)=c$$

• Nếu $n\equiv 2(mod3)$ thì :

$$f\left(\frac{n+4}{3}\right)=\frac{f(n+1)+f(3)}{2}\Rightarrow f(n+1)=c$$

Theo nguyên lí quy nạp ta có :

$$f(n)=c,\forall n\in \mathbb{N}$$

Mặt khác, trong $(1)$ cho $x=4n,y=-n$ ta được :

$f\left(\frac{4n-n}{3}\right)$$=\frac{f(4n)+f(-n)}{2}$$\Rightarrow f(-n)$$=c,\forall n\in \mathbb{N}$

Kết luận : Hàm số cần tìm là $\boxed{f(n)=c,\forall n\in \mathbb{Z}}$ trong đó $c$ là hằng số tùy ý.