Number Theory

Bài toán  (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 10 năm 2013) 

Tìm cặp số nguyên dương $(m,n)$ sao cho $p=m^2+n^2$ là số nguyên tố và $m^3+n^3-4$ chia hết cho $p$.

Lời giải :

Ta có :

$$p\mid m^3+n^3-4\Rightarrow p\mid (m+n)(m^2+n^2)-mn(m+n)-4\Rightarrow p\mid 3mn(m+n)+12$$

Từ đó ta suy ra :

$$p\mid (m^3+n^3-4)+(3mn(m+n)+12)=(m+n{)}^3+8=(m+n+2)(m^2+n^2+2mn-2m-2m+4)$$

Do $p$ là số nguyên tố nên $p\mid m+n+2$ và $p\mid m^2+n^2+2mn-2m-2m+4$

• Nếu $p\mid m+n+2\Rightarrow m+n+2\ge p=m^2+n^2$

Nếu $m,n\ge 2$ thì $m^2>m+1,n^2>n+1$, kéo theo $m^2+n^2>m+n+2$ và điều này mâu thuẫn.

Do đó hoặc $m=1$ hoặc $n=1$. Gỉa sử $m=1$ thì $n+2\ge n^2\Rightarrow n\in \left\{1,2\right\}$

Thử lại ta được $(m,n)=(1,1),(2,1),(1,2)$

• Nếu $p\mid m^2+n^2+2mn-2m-2n+4\Rightarrow p\mid 2mn-2m-2n+4\Rightarrow 2mn+4\ge m^2+n^2+2m+2n$

Nếu $m,n>1$ thì $2(m+n)>4,m^2+n^2\ge 2mn$

Dẫn đến $2mn+4<m^2+n^2+2m+2n$. Do đó hoặc $m=1$ hoặc $n=1$. Tới đây dễ dàng tiếp tục lập luận.

Kết luận : Các cặp số thỏa đề bài là $\boxed{(m,n)=(1,1),(2,1),(1,2)}$