Sequence-Limit

Bài toán (Đề nghị Olympic 30-4 toán 11 năm 2013 THPT Chuyên Hùng Vương, Gia Lai)

Cho dãy số $(x_n)$ : 

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=2\\ x_{n+1}=\sqrt{4+\sqrt{8x_n+1}},\forall n=1,2,...\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn hữu hạn. Tính giới hạn đó.

Lời giải :

Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp rằng $x_n\le 3,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Tiếp theo ta chứng minh bằng quy nạp $x_{n+1}>x_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.Thật vậy, dễ kiểm tra được $x_2>x_1$. Gỉa sử $x_{n+1}>x_n$.

Ta có :

$$x_{n+2}=\sqrt{4+\sqrt{8x_{n+1}+1}}>\sqrt{4+\sqrt{8x_n+1}}=x_{n+1}$$

Theo nguyên lí quy nạp ta có $x_{n+1}>x_n,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$

Như vậy dãy trên vừa bị chặn trên, vừa tăng không nghiêm ngặt. Do đó nó hội tụ.

Gọi giới hạn của dãy $(x_n)$ là $L$, chuyển qua giới hạn ta được :

$L$$=\sqrt{4+\sqrt{8L+1}}$$\Rightarrow (L^2-4{)}^2$$=8L+1$$\Rightarrow L^4-8L^2-8L+15$$=0$$\Rightarrow (L-1)(L-3)(L^2+4L+15)$$=0$$\Rightarrow L\in \left\{1,3\right\}$

Mặt khác vì dãy trên tăng nghiêm ngặt nên $x_n>x_1=2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, suy ra $L\ge 2$. Do vậy $L=3$.

Từ đó ta có $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=3$