Functional Equation

Bài toán : Tìm hàm số $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{R}$ và thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}f(1)=\frac{5}{2}\\ f(m)f(n)=f(m+n)+f(m-n),\forall m,n\in \mathbb{Z}(1)\end{array}$$

Lời giải :

Trong $(1)$ cho $n=0,m=1$ ta được :

$$f(1)f(0)=2f(1)\Rightarrow f(0)=2$$

Trong $(1)$ cho $n=1$ ta được :

$f(1)f(m)$$=f(m+1)+f(m-1),\forall m,n\in \mathbb{Z}$$\Rightarrow f(m+1)+f(m-1)$$=\frac{5}{2}f(m),\forall m\in \mathbb{Z}$

Lấy $m=1$ được $f(2)=\frac{5}{2}f(1)-f(0)=\frac{17}{4}$

Lấy $m=2$ được $f(3)=\frac{5}{2}f(2)-f(1)=\frac{65}{8}$

Dự đoán :

$$f(n)=\frac{4^n+1}{2^n},\forall n\in \mathbb{Z}$$.

Gỉa sử $f(k)=\frac{4^k+1}{2^k},\forall k=0,1,2,...,n$

Ta có :

$f(k+1)$$=\frac{5}{2}f(k)-f(k-1)$$=\frac{5}{2}.\frac{4^k+1}{2^k}-\frac{4^{k-1}+1}{2^{k-1}}$$=\frac{5.4^k+5-4.4^{k-1}-4}{2^{k+1}}$$=\frac{4^{k+1}+1}{2^{k+1}}$

Theo nguyên lí quy nạp ta được $f(n)=\frac{4^n+1}{2^n},\forall n\in \mathbb{N}$

Trong $(1)$ cho $m=0$ được $f(0)f(n)=f(n)+f(-n),\forall n\in \mathbb{Z}\Rightarrow f(n)=f(-n),\forall n\in \mathbb{Z}$

Do vậy :

$$f(-n)=f(n)=\frac{4^n+1}{2^n}=\frac{4^{-n}+1}{2^{-n}},\forall n\in \mathbb{N}$$

Kết luận : Hàm số cần tìm là $f(n)=\frac{4^n+1}{2^n},\forall n\in \mathbb{Z}$