Sequence – Limit

Bài toán (Chọn đội tuyển HSGQG tỉnh Lâm Đồng 2013-2014) 

Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn :

$$\{\begin{array}{c}{x}_1=1\\ x_{n+1}=\sqrt{x_n(x_n+1)(x_n+2)(x_n+3)+1},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

a) Chứng minh rằng $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=+\infty$

b) Tìm $\underset{n\to +\infty }{\lim }\underset{i=1}{\sum ^n}\frac{1}{x_i+2}$

Lời giải :

a) Từ giả thiết dễ thấy dãy đã cho là dãy dương.

Ta có :

$$x_{n+1}=\sqrt{(x_n^2+3x_n)(x_n^2+3x_n+2)+1}=\sqrt{(x_n^2+3x_n+1{)}^2}=x_n^2+3x_n+1$$

Ta chứng minh $(x_n)$ là dãy tăng. Thật vậy, ta có $x_2=5>x_1$. Gỉa sử $x_{n+1}>x_n$. Ta có :

$$x_{n+2}=x_{n+1}^2+3x_{n+1}+1>x_n^2+3x_n+1=x_{n+1}$$

Theo nguyên lí quy nạp thì dãy $(x_n)$ tăng. Gỉa sử dãy $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn là $l$, chuyển qua giới hạn :

$$l=l^2+3l+1\iff l=-1$$

Do vậy ta có $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=+\infty$

b) Dễ thấy rằng :

$x_{n+1}+1$$=(x_n+1)(x_n+2)$$\Rightarrow \frac{1}{x_{n+1}+1}$$=\frac{1}{(x_n+1)(x_n+2)}$$=\frac{1}{x_n+1}-\frac{1}{x_n+2}$$\Rightarrow \frac{1}{x_n+2}$$=\frac{1}{x_n+1}-\frac{1}{x_{n+1}+1}$

Do vậy :

$\underset{i=1}{\sum ^n}\frac{1}{x_i+2}$$=\frac{1}{x_1+1}-\frac{1}{x_2+1}+\frac{1}{x_2+1}-\frac{1}{x_3+1}+...+\frac{1}{x_n+1}-\frac{1}{x_{n+1}+1}$$=\frac{1}{2}-\frac{1}{x_{n+1}+1}$

Ta suy ra :

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\underset{i=1}{\sum ^n}\frac{1}{x_i+2}$$=\frac{1}{2}$