Functional Equation

Bài toán : Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ và thỏa mãn

 $$f(m+n)+f(mn-1)=f(m)f(n)+2,\forall m,n\in \mathbb{Z}(1)$$

Lời giải :

Trong $(1)$ cho $m=0$ được :

$f(n)+f(-1)$$=f(0)f(n)+2,\forall n\in \mathbb{Z}$$\Rightarrow f(n)$$=(1-f(0))$$=2-f(-1),\forall n\in \mathbb{Z}$

Nếu $1-f(0)\ne 0$ thì $f$ là hàm hằng, không thỏa mãn. Do đó $f(0)=1,f(-1)=2$.

Trong $(1)$ cho $m=-1$ ta được :

$$f(n-1)+f(-n-1)=f(-1)f(n)+2=2f(n)+2,\forall n\in \mathbb{Z}(2)$$

Trong $(2)$ thay $n$ bởi $-n$ ta được :

$$f(-n-1)+f(n-1)=2f(-n)+2,\forall n\in \mathbb{Z}$$

Suy ra $f(n)=f(-n),\forall n\in \mathbb{Z}$

Từ đó :

$$f(n+1)+f(n-1)=2f(n)+2,\forall n\in \mathbb{Z}$$

Ta dự đoán rằng $f(n)=n^2+1,\forall n\in \mathbb{Z}$

Ta chứng minh bằng quy nạp, với $n=0$ thì hiển nhiên. Gỉa sử $f(k)=k^2+1,\forall k=0,1,2,...,n$

Ta có :

$$f(n+1)=2f(n)-f(n-1)+2=2(n^2+1)-(n-1{)}^2-1+2=n^2+2n+2=(n+1{)}^2+1$$

Theo nguyên lí quy nạp ta có $f(n)=n^2+1,\forall n\in \mathbb{N}$

Mặt khác ta cũng có $f(-n)=f(n)=n^2+1=(-n{)}^2+1,;\forall n\in \mathbb{N}$

Kết luận : Hàm số cần tìm là $\boxed{f(n)=n^2+1,\forall n\in \mathbb{Z}}$