Sequence-Limit

Bài toán (Đề thi HSG toán 12 tỉnh Đồng Nai năm 2013-2014)

Cho dãy số $(u_n)$

$$\{\begin{array}{c}{a}_1=2,a_2=1\\ a_{n+2}=\frac{a_n{a}_{n+1}}{2a_n+a_{n+1}},\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\end{array}$$

Chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty$. Tìm $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n$.

Lời giải :

Dễ dàng thấy rằng $a_n>0\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Mặt khác ta chứng minh bằng quy nạp rằng dãy số $(a_n)$ trên giảm nghiêm ngặt. Thật vậy, ta có $a_1<a_2$. Gỉa sử $a_{k+1}<a_k,\forall k=1,2,...,n+1$

Ta có :

$\frac{1}{a_{n+2}}-\frac{1}{a_{n+1}}$$=\frac{2a_n+a_{n+1}}{a_n{a}_{n+1}}-\frac{2a_{n-1}+a_n}{a_n{a}_{n-1}}$$=\frac{2}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a_{n-1}}$$>0$$\Rightarrow a_{n+2}$$<a_{n+1}$

Như vậy theo nguyên lí quy nạp ta có $(a_n)$ giảm nghiêm ngặt, mà $(a_n)$ bị chặn dưới nên nó hội tụ.

Gỉa sử $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=L$, chuyển qua giới hạn ta được :

$$L=\frac{L^2}{3L}\iff L=0$$

Do vậy ta có $\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n=0$