Sequence – Limit

Bài toán (Chọn đội tuyển HSGQG Tp Hải Phòng 2013-2014)

Dãy số $(x_n)$ cho bởi 

$$x_1=1;x_{n+1}=20+\frac{13}{x_n}$$

Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ hội tụ và tìm $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n$

Lời giải :

Dễ thấy $(x_n)$ là dãy số dương, ta có ngay $x_{n+1}=20+\frac{13}{x_n}>20$, suy ra $x_{n+1}=20+\frac{13}{x_n}<20+\frac{13}{20}=\frac{413}{20}$. Tức là $20<x_n<\frac{413}{20}$.

Như vậy dãy $(x_n)$ bị chặn.

Xét hàm số $f(x)=20+\frac{13}{x}$, hàm này nghịch biến trên $\left(0,+\infty \right)$.

Theo giả thiết thì ta có :

$$x_{n+1}=f(x_n),\forall n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$$

Xét hai dãy số $a_n=x_{2n-1},b_n=x_{2n}$.

Ta tính được

 $$x_3=\frac{673}{33}>x_1\Rightarrow f(x_3)<f(x_1)\Rightarrow x_4<x_2\Rightarrow f(x_4)>f(x_2)\Rightarrow x_5>x_3\Rightarrow ...\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_{2n+1}>x_{2n-1}\\ x_{2n+2}<x_{2n}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}{a}_{n+1}>a_n\\ b_{n+1}<b_n\end{array}$$

Như vậy dãy $(a_n)$ tăng và dãy $(b_n)$ giảm, tuy nhiên cả hai dãy này đều bị chặn nên chúng có giới hạn hữu hạn. Gọi $A=\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}_n,B=\underset{n\to +\infty }{\lim }{b}_n$, chuyển qua giới hạn, ta có hệ :

$$\{\begin{array}{c}A=20+\frac{13}{B}\\ B=20+\frac{13}{A}\end{array}\Rightarrow A=B$$

Dẫn đến phương trình :

$$A^2-20A-13=0\iff A=10+\sqrt{113}(A>0)$$

Do vậy ta được $\underset{n\to +\infty }{\lim }{x}_n=10+\sqrt{113}$