Sequence – Limit

Bài toán  (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 11 năm 2013)

Cho dãy số

$$(x_n)$$ : $$\{\begin{array}{c}{x}_1=1\\ x_n=\frac{-14x_{n-1}-51}{5x_{n-1}+18}(n\ge 2)\end{array}$$

a) Tính $x_{2013}$

b) Tính $lim{x}_n$

Lời giải :

a) Ta có :

$$x_n+3=\frac{-14x_{n-1}-51}{5x_{n-1}+18}+3=\frac{x_{n-1}+3}{5x_{n-1}+18}$$

$x_n+\frac{17}{5}$$=\frac{-14x_{n-1}-51}{5x_{n-1}+18}+\frac{17}{5}$$=\frac{15x_{n-1}+51}{5(5x_{n-1}+18)}$

Kéo theo :

$\frac{x_n+3}{x_n+\frac{17}{5}}$$=\frac{5(x_{n-1}+3)}{15x_{n-1}+51}$$\iff \frac{x_n+3}{5x_n+17}$$=\frac{x_{n-1}+3}{5x_{n-1}+17}.\frac{1}{3}$

Ta đặt $y_n=\frac{x_n+3}{5x_n+17}$ ta được :

$$y_n=y_{n-1}.\frac{1}{3}$$

Ta có $y_1=\frac{2}{11}$ và $y_n$ là cấp số nhân công bội $\frac{1}{3}$ nên :

$$y_n=\frac{2}{11}.{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-1}$$

Suy ra

$\frac{x_n+3}{5x_n+17}$$=\frac{2}{11}.\frac{1}{3^{n-1}}$$\iff x_n$$=\frac{11.3^n-34}{10-11.3^{n-1}}$

Từ đó ta có $x_{2013}=\frac{11.3^{2013}-34}{10-11.3^{2012}}$

b) Dễ dàng thấy rằng :

$x_n$$=\frac{11.3^n-34}{10-11.3^{n-1}}$$=\frac{3(11.3^{n-1}-10)-4}{10-11.3^{n-1}}$$=-3+\frac{4}{11.3^{n-1}-10}$

Từ đó :

$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$$=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(-3+\frac{4}{11.3^n-10}\right)$$=\underset{n\to \infty }{\lim }(-3)+\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{4}{11.3^n-10}\right)$$=\underset{n\to \infty }{\lim }(-3)$$=-3$

Chú ý vì $\left|\frac{4}{11.3^{n-1}-10}\right|<1$ nên $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{4}{11.3^{n-1}-10}\right)=0$