Sequence – Limit | Thư viện HocTotBachKhoa

Bài toán (Đề thi chính thức Olympic 30-4 toán 11 năm 2012)

Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi

$⎩ ⎨ ⎧ x_{1} = 4 x_{n + 1} = \frac{x _{n}^{4} + 9}{x _{n}^{3} - x _{n} + 6}, \forall n \in N^{*}$

Chứng minh rằng $n \to + \infty l im x_{n} = + \infty$

Với mỗi số nguyên dương $n$ , ta đặt $y_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{x _{k}^{3} + 3}$ . Tính $n \to + \infty l im y_{n}$ .

Lời giải :

Dễ dàng chứng minh được $(x_{n})$ là dãy dương bằng quy nạp toán học.

Ta chứng minh dãy $(x_{n})$ là dãy tăng. Thật vậy, giả sử :

$x_{n + 1} = \frac{x _{n}^{4} + 9}{x _{n}^{3} - x _{n} + 6} > x_{n} \Leftrightarrow x_{n}^{4} + 9 > x_{n} (x_{n}^{3} - x_{n} + 6) \Leftrightarrow x_{n}^{2} + 9 > 6 x_{n}$

Hiển nhiên đúng theo $A M - GM$ .

Như vậy dãy $(x_{n})$ là dãy tăng.

Gỉa sử dãy trên có giới hạn hữu hạn là $l$ , chuyển qua giới hạn ta được :

$l = \frac{l ^{4} + 9}{l ^{3} - l + 6} \Leftrightarrow l^{2} - 6 l + 9 = 0 \Leftrightarrow l = 3$

Điều này là mâu thuẫn vì do dãy tăng nên $x_{n} > x_{1} = 4$ , tức là $l > 4$ . Do đó ta phải có $n \to + \infty l im x_{n} = + \infty$

Ta thêm vào một số $a$ :

$x_{n + 1} + a = \frac{x _{n}^{4} + 9}{x _{n}^{3} - x _{n} + 6} + a = \frac{x _{n}^{4} + a x _{n}^{3} - a x _{n} + 6 a + 9}{x _{n}^{3} - x _{n} + 6} \Rightarrow \frac{1}{x _{n + 1} + a} = \frac{x _{n}^{3} - x _{n} + 6}{x _{n}^{4} + a x _{n}^{3} - a x _{n} + 6 a + 9}$

Ta sẽ chọn $a$ sao cho :

$x_{n}^{4} + a x_{n}^{3} - a x_{n} + 6 a + 9 = (x_{n}^{3} + 3) (x_{n} + a) \Rightarrow a = - 3$

Như vậy ta được :

$\frac{1}{x _{n + 1} - 3} = \frac{x _{n}^{3} - x _{n} + 6}{( x _{n}^{3} + 3 ) ( x _{n} - 3 )} = \frac{1}{x _{n} - 3} - \frac{1}{x _{n}^{3} + 3} \Rightarrow \frac{1}{x _{n}^{3} + 3} = \frac{1}{x _{n} - 3} - \frac{1}{x _{n + 1} - 3}$

Do vậy :

$y_{n} = \frac{1}{x _{1} - 3} - \frac{1}{x _{n + 1} - 3} = 1 - \frac{1}{x _{n + 1} - 3}$

Như vậy thì $n \to + \infty l im y_{n} = 1$

Sequence – Limit

Đề bài

Mô tả